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第 零 章 矢 量 分 析 标量场和矢量场 标量场的梯度 矢量场的通量与散度 矢量场的环量与旋度 亥姆霍兹定理 第0章 矢量分析 场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量。 标量场和矢量场 (1) 标量场--等值线(面) 形象描绘场分布的工具——场线 (2)矢量场--矢量线 其方程为: 标量场的梯度 设一个标量函数? (x，y，z)，若函数 ? 在点 P 可微，则 ? 在点P 沿任意方向l的方向导数为 哈密顿算子 梯度 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即最大方向导数。 梯度的方向为该点最大方向导数的方向。 梯度的意义 矢量场的通量与散度 通量: 矢量E 沿有向曲面 S 的面积分 如果包围点 P 的闭合面 ?S 所围区域 ?V 以任意方式缩小到点 P 时： 散度 散度的意义 在矢量场中，若?? A= ?? 0，称之为有源场，? 称为 ( 通量 ) 源密度；若矢量场中处处 ?? A=0 ，称之为无源场。 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数； 散度代表矢量场的通量源的分布特性。 (无源） (正源) (负源) 图0.3.3 通量的物理意义 下 页 上 页 返 回 环量 矢量 A 沿空间有向闭合曲线 L 的线积分 环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。 环量密度 过点 P 作一微小曲面 ?S，它的边界曲线记为?L，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当 ?S ?点 P 时，存在极限 环量密度是单位面积上的环量。 水流沿平行于水管轴线方向流动，?= 0，无涡旋运动。 例：流速场 图0.4.2 流速场 流体做涡旋运动，?? 0，有产生涡旋的源。 下 页 上 页 返 回 旋度 旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最大值；其方向为最大环量密度的方向 ——旋度(curl) － S 的法线方向 它与环量密度的关系为 在直角坐标下: 下 页 上 页 返 回 旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其 方向是最大环量密度的方向。 在矢量场中，若 ??A=J? 0 称之为旋度场（或涡旋场），J 称为旋度源（或涡旋源）。 若矢量场处处 ??A= 0 ，称之为无旋场。 下 页 上 页 返 回 斯托克斯定理 矢量函数的线积分与面积分的相互转化。 ——斯托克斯定理 电磁场理论中高斯定理 和 斯托克斯定理 散度定理 ——高斯公式 矢量函数的面积分与体积分的相互转换。 亥姆霍兹定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。 已知： 矢量A的通量源密度 矢量A的旋度源密度 场域边界条件 （矢量 A 惟一地确定） 电荷密度? 电流密度 J 场域边界条件 在电磁场中 下 页 上 页 返 回 第 零 章 矢 量 分 析