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《实变函数论》试卷五.doc
《实变函数论》试卷五
一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“√”或“×”。
共5小题，每题3分，共5×3=15分）
1、设 则集合是可数集合。（ ）
2、Cantor 集是中无处稠密的完备集合。 （ ）
3、设是可测集，若对任何有理数可测，则在上可测。
4、若是可测集，则对任何是上的可测集合。（ ）
5、若是上的有界变差函数，则。 （ ）
二、叙述题 (共5小题 , 每题3分，共5×3 =15分)
1、Bernstein 关于两集合对等的定理
2、中开集的构造定理
3、Lusin定理
4、Fubini定理
三、计算题（共1题，共1×10 = 10分）
设为全体有理数所成的集合，在上函数定义如下：
求 。
四、解答题（共6小题，每题10分，共6×10 = 60分）
1、设是集且，证明：必存在一列单调下降包含于的开集，使得。
2、设是中的测度有限的可测集，若几乎处处有限的可测函数列在上几乎处处收敛于a.e.于，试用Egoroff定理证明存在一列可测集合使得在每个上一致收敛于，而。
3、设都是可测集上的非负可测函数且，用表示集合的特征函数（示性函数）。证明函数是上的可测函数。
4、设是中的可测集，是上的Lebesgue可积函数。证明：
（1）若于，则存在上的非负简单函数列使得；
（2）存在上的简单函数列使得。
5、设，证明若在上，则。
6、设函数是中的有界可测集上的Lebesgue可积函数，且。证明：
（1）是上的连续函数，其中是以原点为中心以为半径的开球。
（2）存在可测集，使得且
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