关于向量集值优化Benson真有效性.pdfVIP

维普资讯 一 77 应 用 数 学 M ATHEMAT1CA APPI，ICATA 2000．13(4)：95～ 99 关于向量集值优化 的Benson真有效性 忙 ；日『 =() (西安电子科技 葶丽 数学系． 西安 710071) 摘要 ：对广义锥次 类凸 向量集值优化 问题 Benson真有效解的标量化 问题进行 j研 宄．借助于一种新的择一性定理建立 了广义锥次类凸向量集值优化 问题 Benson真有 效解 的Lagrange乘子型定理并讨论 j乘子型对偶 问题 ． 关键词：塞堡 ；￡墨壁 耋些；旦塑凸；向量优化；堡竺墨塑塾堡；对偶 AM S(1 ¨ ∞ c 。 文献标识码：A 文章编号：：1001一9847 (2000)04一0095 05 。伺I,PI、J量里紧lJ ：lr． … 号 设 y为实赋范线性空间，y ‘为y的共轭空间．s为y 内非空子集 ，用 intS和 elS分别表示 S的内部和 闭包．稚 S为锥 ，若 c S，V^ 0．锥 s称为点的，若 Sn (一 S)一 {0r}，其中 为 y中的零元素．设 4‘cY．则 由 生成的锥定义为 coneA一 { ： ∈A．^≥ 0)．众所周知 cone()为一非空锥 ．且 为凸集时，cone(A)为一凸锥 ．称集合 为锥 S的基，若 为 s的凸 子集 ，0 在ctB且 S— coneB．令 ^c r，A ≠ ，定义 Pmin[A，s]一 {Y∈A：(一S)nclcone(A十s— )： { )f Pmax[A，s]一 ( ∈A：snclcone(A— S— )= {0y}}， 称 PminEA，s]为 的Benson真有效集，并用min[A，s]一 {Y∈A：An ( 一s)一 {Y)}表 示 的有效集．易证 Pmin[A，s][min[A，s]且 由[4]知 ，当 为多面凸集时Pmin[A，s]一 min[A，s]．因此对于多面凸集而言Benson真有效-I生与有效性等价． 除非声明． 下均设x为一线性空间 ，y，z为线性赋范空间．scy， cz分别为y，z内 点的闭凸锥，F：x一 2，G：X一 2 为两个集值映射， 锥 Sc y的共轭锥 s 的拟 内锥为S 一 ( ∈Y ： () 0， ∈s＼{0))． 设集值映射 FzX一 2，如果对任意 1， ∈x及 ∈ (o，1)均有 ^F( )+ (1一 )F(。)C F( 】+ (1一 ) 2)+ S， 则称 F在 x上为 s·凸的．F的上图epiF定义为epiF一 { ，)∈X ×Y： ∈F()4-S}．一 个众所周知的结果为 F为 s一凸当且仅当epiF为X ×Y中的一个凸集．称F为在 x上 s一类凸 的，如果对任意 ．72， ∈X，任意 ^∈ (0，1)有 ( )+ (1一 )F(x)[F(x)4-S．F()称 为在 x上 s一次类凸的，若存在 ∈intS，而使任意 z 。∈X，任意 ∈ (0，1)．任意 e0， 4-2F(x)-4 (1一 ；OF(x。)c F(x)+S．由[1]知，F在x上为 s一次类凸(s一类 凸的)当且仅 收稿 日期 ：1999—03—17 基金项 目：陕西省 自然科学基金 (99SI02)资助 作者简介 ：盛宝怀 (1962一)，男，陕西风县人，西安科技大学数学系副教授，博士生．主攻多 目标优化与逼 近论 ， 维普资讯 96 应 用 数 学 2000 当 ，()+ intS(F(X)+5)是凸集．称 F在 x上为近似类凸 的，若 cl(F(x)+5)是凸集． 有关 s一凸，s一类凸，S一次类凸．s一近似类凸之间的关系有 (见 [6])