行(列)满秩阵的几点性质.pdfVIP

维普资讯 第 24卷第 3期 长春师范学院学报(自然科学版) 2005年 8月 V01．24 No．3 JournalofChangChunTeachersCollege(NaturalScience) Aug 2005 行 (列)满秩阵的几点性质 徐秋丽 (廊坊师范学院数学系，河北廊坊 06500) [摘 要】以矩阵的秩为基础，给出了两种特殊的矩阵：行满秩阵和列满秩阵，并对照矩阵的性质给 出了行 (列)满秩阵的几条性质 ，在此基础上研究了线性方程组 AX=B对任一 111维列 向量 B都有解 的充要条件 ，进一步给出了矩阵方程 AX=B有唯一解的条件。 [关键词】矩阵的秩；行满秩阵；列满秩阵 [中图分类号]O157 [文献标识码]A [文章编号]1008—178x(20o5)03—0005．03 近年来 ，随着计算机的发展和普及 ，矩阵理论的重要性愈加显著 ，应用f3益广泛 ，这是因为用矩阵理 论和方法来解决现代工程技术中的各种问题，不仅表述简洁，而且具有适合计算机处理的特点。因此有 必要对矩阵作深入 的研究。 1．矩阵的秩的定义 定义 1 一个矩阵 中不等于零的子式的最大阶数称作这个矩阵的秩 ；记作 R()或 。 在给出矩阵的秩的第二个定义之前先给出向量组的秩的定义。 定义 2 向量组的秩是指它的一个极大无关组所含向量的个数。 定义 3 把一个矩阵的行 向量组的秩 (即称为行秩)与列向量组的秩(即称为列秩)统称为矩阵的秩 (因为它的行秩和列秩相等)。 2．列(行)满秩阵 ‘ 2．1 列(行)满秩阵的定义 定义 4 称秩是 n的m ×n矩阵为列满秩阵；称秩是 n的n×P矩阵为行满秩阵。 定义 5 若 m ×n矩阵的n个列向量线性无关 ，则此矩阵称为列满秩阵；若 n×P矩阵的n个行 向 量线性无关 ，则此矩阵称为行满秩阵。 根据矩阵的秩的定义 ，显然 ，定义4与定义 5是等价的。 1 1 1 2 1 2 例 ： = 的三个列向量 口= 1 。 ， 口，口，口，线性无关，故R(A)=3， 1 2 1 1 1 f 2111 A为列满秩。而 =f112 1l，三个行向量口=(12 11)，口=(112 1)，a3=(10 1002J 0 2)也线性无关，故 R(A)=3，A为行满秩阵。 2．2 列(行)满秩阵的性质 行满秩阵和列满秩阵基本具有相同的性质。 性质 1 设 ∈ (F)，若 行满秩阵，则 m≤凡；若 是列满秩阵，则 凡≤ 。 证明：若 为行满秩阵，则R(A)=m，即存在 的一个m阶子式不为 0，显然当m几时， 不存 在m阶子式 ，故 m≤n。同理可证当 是列满秩阵，则 n≤m。 引理 1 设 ∈ (F)， ∈ (F)，则 R(A)+R(B)一n≤R(AB) rain{R(A)，R(B)}其中 [收稿 日期】2OO5—05—30 [作者简介]徐秋丽 (1977一)，女，黑龙江青岗人，廊坊师范学院数学系教师，硕士研究生，从事组合数学研究。 · 5 · 维普资讯 称 R(A)+R(B)一n R(AB)为Sylvester不等式。 由此引理，我们可 以得到： 性质2 设 A∈ (F)，B∈ (F)，若 A为列满秩阵，则 R(AB)=R(B)；若 B为行满秩阵， 则 R(AB)=R(A)。 证明：若 A为列满秩阵，则 R