电磁场理论习题及答案7.docVIP

习题： 在的平面内，长度的导线沿轴方向排列。当该导线以速度在磁感应强度的磁场中移动时，求感应电动势。 解：给定的磁场为恒定磁场，故导线中的感应电动势只能是导线在恒定磁场中移动时由洛仑兹力产生的。有 根据已知条件，得 故感应电动势为 2.长度为的细导体棒位于平面内，其一端固定在坐标原点。当其在恒定磁场中以角速度旋转时，求导体棒中的感应电动势。 解：导体中的感应电动势是由洛仑兹力产生的，即 根据已知条件，导体棒上任意半径处的速度为 故感应电动势为 3.试推出在线性、无耗、各向同性的非均匀媒质中的麦克斯韦方程。 解：考察麦克斯韦方程中的参量，利用它们与电场强度和磁感应强度的关系，将代入即可，注意在非均匀媒质中是空间坐标的函数。 考察麦克斯韦第一方程，有 所以 而 ，于是，微分形式的麦克斯韦方程用和表示为 对于无耗媒质，，因此有。 4.试由麦克斯韦方程推导出电流连续性方程。 解：对麦克斯韦第一方程两边取散度，得 又因为，所以 5.设真空中电荷量为的点电荷以速度向正方向匀速运动，在时刻经过坐标原点，计算任一点位移电流密度（不考虑滞后效应）。 解：选取圆柱坐标系，由题意知点电荷在任意时刻的位置为，且产生的场强与角度无关，如习题所示。设为空间任一点，则点电荷在点产生的电场强度为 其中为点电荷到点的位置矢量，即 那么，由，得 6.已知自由空间的磁场为 式中的、、为常数，试求位移电流密度和电场强度。 解： 随时间变化的磁场要产生电场，随时间变化的电场又要产生磁场，它们之间的相互联系和制约由麦克斯韦方程来表征。自由密度空间的传导电流密度，故由麦克斯韦第一方程得 而，故 则 7. 由麦克斯韦方程出发，试导出静电场中点电荷的电场强度和泊松方程。 解：对于静电场，不存在位移电流，由麦克斯韦方程，有 即 根据上式，利用球坐标，则对于孤立的、位于原点的点电荷有，所以距离该点电荷处的电场强度为 静电场为无旋场，因此有，则 所以有 即泊松方程。 8.由麦克斯韦方程组出发，导出毕奥-萨伐尔定律。 解： 由麦克斯韦方程组，有 因为矢量的旋度取散度为零，故可令 在库仑规范下，，因而 即 由的解为 可得 对于线电流 于是 9.如图所示，同轴电缆的内导体半径，外导体内半径，内、外导体间为空气介质，且电场强度为 （1）求磁场强度的表达式 （2）求内导体表面的电流密度； （3）计算中的位移电流。 解： （1）将表示为复数形式，有 由复数形式的麦克斯韦方程，得 磁场的瞬时表达式为 （2）内导体表面的电流密度 (3) 位移电流密度 所以中的位移电流 10.试由麦克斯韦方程组中的两个旋度方程和电流连续性方程，导出麦克斯韦方程组中的两个散度方程。 解：本题的结果表明麦克斯韦方程组的相容性，而导出此结果的关键在于灵活应用矢量分析的基本关系式。 对方程两边取散度，得 而电流连续性方程 矢量恒等式 故得 即 可见，是一个与时间无关的常量。若取时，该常量为零，则的任何时刻， 皆满足需要。故得 同样，对方程两边取散度，得 故得 11.如图所示，两种理想介质，介电常数分别为和，分界面上没有自由电荷。在分界面上，静电场电力线在介质中与分界面法线的夹角分别为和。求和之间的关系。 解：利用和的关系以及理想介质分界面的边界条件求解。 设和分别为介质中电通量密度。，分别为介质中电场强度。在各向同性介质中，和具有相同的方向。由边界条件和，得 而根据图可知 则得 12.写出在空气和的理想磁介质之间分界面上的边界条件。 解：空气和