电磁场与电磁波(第4版)_习题第2章.docVIP

2.3 电荷q均匀分布在半径为a的导体球面上，当导体球以角速度绕通过球心的z轴旋转时，试计算导体球面上的面电流密度。 解 导体球上的面电荷密度为 球面上任一点的位置矢量为，当导体球以角速度绕通过球心的z轴旋转时，该点的线速度为 则得导体球面上的面电流密度为 2.6 平行板真空二极管两极板间的电荷体密度为，阴极板位于x=0处，阳极板位于x=d处，极间电压为；如果，横截面，求：（1）x=0至x=d区域内的总电荷量；（2）x=d/2至x=d区域的总电荷量。 解 （1） （2） 2.7 在真空中，点电荷位于点A(25,-30,15)cm；点电荷位于点B(-10,8,12)cm。求：（1）坐标原点处的电场强度；（2）点P(15,20,50)cm处的电场强度。 解 （1）源点的位置矢量及其大小分别为 而场点O的位置矢量，故坐标原点处的电场强度为 （2）场点P的位置矢量为 故 则 2.9 无限长线电荷通过点（6，8，0）且平行于z轴，线电荷密度为；试求点P(x,y,z)处的电场强度E。 解 线电荷沿z方向为无限长，故电场分布与z无关。设点P位于z=0平面上，如题2.9图所示，线电荷与点P的距离矢量为 根据高斯定律得点P处的电场强度为 2.11 三根长度均为L、线电荷密度分别为和的线电荷构成一个等边三角形，设，试求三角形中心的电场强度。 解 根据题意建立题2.11图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为 直接利用有限长直线电荷的电场强度公式 得 故等边三角形中心处的电场强度为 2.13 自由空间有三个无限大的均匀带电平面：位于点(0,0,-4)处的平面上，位于点(0,0,1)处的平面上，位于点(0,0,4)处的平面上。试求以下各点的E：（1）；（2）；（3）。 解 无限大的均匀面电荷产生的电场为均匀场，利用前面的结果得 （1） （2） （3） 2.15 半径为a的球形体积内充满密度为的体电荷。若已知球形体积内外的电位移分布为 式中A为常数，试求电荷密度。 解 由，得 故在区域，有 在区域 2.16 一个半径为a的导体球带电荷量为q ,当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时（如题2.16图所示），试求球心处的磁感应强度B 解 导体球面上的面电荷密度为，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量点处的电流面密度为 将球面划分为无数个宽度为的细圆环，则球面上任一个宽度为细圆环的电流为 该细圆环的半径为，细圆环平面到球心的距离，利用电流圆环的轴线上任一点的磁场公式，可得到该细圆环电流在球心处产生的磁场为 故整个球面电流在球心处产生的磁场为 2.18 一条扁平的直导体带，宽度为2a，中心线与z轴重合，通过的电流为I。试证明在第一象限内任一点P的磁感应强度为 式中的、和如图2.18图所示。 解 将导体带划分为无数个宽度为的细条带，每一细条带的电流。根据安培环路定理，可得到位于处的细条带的电流在点处的磁场为 故 则得 2.21 下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求出其源量J。 （1） （圆柱坐标系） （2） （3） （4） （球坐标系） 解 根据静态磁场的基本性质，只有满足的矢量函数才可能是磁场的场矢量，对于磁场矢量，则可由方程求出源分布。 （1）在圆柱坐标中 可见矢量不是磁场的场矢量。 （2） 在直角坐标系中 故矢量是磁场矢量，其源分布为 （3） 故矢量是磁场矢量，其源分布为 （4） 在球坐标系中 故矢量是磁场的场矢量，其源分布为 2.22 通过电流密度为J的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，其横截面如题2.22图所示。试计算各部分的磁感应强度，并证明空腔内的磁场是均匀的。 解 将题给的非对称电流分布分解为两个对称电流分布的叠加：一个是电流密度均匀分布在半径为b的圆柱内，另一个是电流密度均匀分布在半径为a的圆柱内。原有的空腔被看作是同时存在和两种电流密度。这样就可以利用安培环路定律分别求出两种对称电流分布的磁场，再进行叠加即可得到解答。 由安培环路定律，先求出均匀分布在半径为b的圆柱内的产生的磁场为 同样，均匀分布再半径为a的圆柱内的产生的磁场为 这里和分别是点和到场点的位置矢量。 将和叠加，可得到空间各区域的磁场为 圆柱外： 圆柱内的空腔外： 空腔内： 式中是点和到点的位置矢量。由此可见，空腔内的磁场是均匀的。 2.24 一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场之中，如题2.24图所示。 滑片的位置由确定，轨道终端接有电阻；试求感应电流i。 解 穿过导体回路abcda的磁通为 故得感应电流为 2.25 平