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含参数不等式恒成立问题的求解策略 分离参数法 例1 已知函数在上有意义，试求的取值范围。 分析：函数在上有意义，等价于在区间上恒成立，这里参数的系数，故可以分离参数。 【解析】 函数在上有意义，等价于在区间上恒成立，即恒成立，记 ，因此问题又等价于在恒成立。在上是增函数，因此的最大值为，在上恒成立等价于，于是的取值范围为。 【能力提升】恒成立等价于恒成立等价于。利用分离参数法求解不等式恒成立问题，前提条件是参数较易从变量中分离出来，基本的解题程序一般分三步：（1）分离参数，得到（或）；（2）求函数最值，得到（或）；（3）极端原理，即（或），把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题。 主参换位法 例2 设不等式对满足的一切实数，都成立，求实数的取值范围。 【解析】设，则原不等式等价于对一切恒成立。由于是关于的一次函数或常值函数，故有即解得 于是，使原不等式在时恒成立的的取值范围是。 【能力提升】某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。 根的分布法 例3 已知函数，当时，恒成立，求的取值范围。 分析：恒成立，只需要函数的最小值大于等于即可，则问题转化为求函数的最值问题。 【解析】∵，∴此二次函数图象的对称轴为 （1）当时，在上单调递增，∴ 要使恒成立，只需，即，解得，即 （2）时， 要使恒成立，只需，即，解得，即 综上所述，实数的取值范围为 【能力提升】利用根的分布法求参数的取值范围，要注意判别所对应函数的形式，常见命题中的函数有一次函数和二次函数两类，对应的题型是：（1）对恒成立，则（2）++对恒成立，则分三种情形：①△=②时，③时，（3）对恒成立，则 数形结合法 例4 当(1,2)时，不等式恒成立，求的取值范围。 分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。 【解析】设, ,则的图象为右图所示的抛物线，要使对一切(1,2),恒成立，显然a1,并且必须也只需 当=2时的函数值大于等于的函数值。故1, 又a1,∴ 1a2. 【能力提升】对一些不等式两边的式子，函数模型较明显、函数图象较容易作出的，可考虑作出函数图象，用函数图象的直观性解决不等式或方程的恒成立问题的问题，也非常容易得到意想不到 的效果。 函数性质法 例5函数定义域是，对于任意实数，都有当时，且不等式对所有恒成立，求实数的取值范围。 分析：利用题目所给的已知条件，得出该函数的奇偶性、单调性等性质，然后利用奇偶性、单调性性质，脱去外套转化为关于参数的恒成立不等式，进而求出参数的取值范围。 【解析】令，则，由题意，对于任意实数，，即，故是奇函数，设任意实数，则，所以，即，则是增函数，由题意得，又是增函数，则原不等式等价于不等式对所有恒成立，分离参数得：由于的最大值是，，故实数的取值范围是。 【能力提升】利用函数性质法求解恒成立问题，主要的解题步骤是研究函数的性质，根据函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性等性质，找到参数满足的不等式。 导数分析法 例6 已知函数,若在区间上，恒成立，求的取值范围。 分析：可以通过函数与导数的关系讨论函数的单调性，找到在指定区间上函数值的变化趋势，通过函数值的变化趋势，根据区间的端点值、函数的极值，确定参数所满足的不等式或不等式组，从而求解出参数的取值范围。 【解析】.令0，解得或. 以下分两种情况讨论： 若，当变化时，，的变化情况如下表： 0 + 0 - ↗ 极大值 ↘ 当时，等价于 解不等式组得.因此. 若.当变化时，，的变化情况如下表： 0 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 当时，等价于即 解不等式组得或.因此. 综合（1）和（2），可知的取值范围为. 【能力提升】利用导数分析法求解恒成立问题，主要思想是根据函数和导数的关系讨论函数的单调性，因此，解答问题时，一般的解题思路是先通过对函数求导，判断导函数的符号，从而确定函数在所给区间上的单调性，找到在指定区间上函数值的变化趋势，通过函数值的变化趋势，根据区间的端点值、函数的极值，确定参数所满足的不等式或不等式组，基本的数学思想是等价转化。 最值定位法 例7 已知函数若对任意，不等式求实数的取值范围。 分析：由于是对任意的，不等式因此只要函数在区间上的最小值大于或等于在区间上的最大值即可。 【解析】问题等价于.所以由得解得，故函数的单调递增区间是，单调递减区间是，故在区间 上，是函数的极小值点，这个极