.集合、势及其运算.docVIP

第1章 集合论与测度论 1.1 1.1.1 集合的基本概念 定义1.1.1 由具有某种共同特点的个体构成的集体称为集合，（或：集，族，类，簇等）。集合中的个体称为元素。 ，（或：），—， 或（或：或），. 称为集与集的并集（或：和（集））； 称为集与集的交集（或：通（集））； ， ， 其中称为的指标集. 定义1.1.2 若（），则称集与集不相交（相交）；若的任何两个集没有公共元素，则是一个不相交的集族. 定义1.1.3 称为与的差（集），（读作减去，或差）. 当时，称差（集）为关于的补（集）或余集；记为. 当从上下文能清楚地知道是对哪一个较大的集取余集时，的余集记为. 称集为集与集的对称差，记为, . 注下列记号在本课程中是固定的： : 全体自然数构成的集合； 全体整数构成的集合； 全体有理数构成的集合； 全体实数构成的集合； ：全体复数构成的集合. 设是一个集合，用表示的所有子集构成的集合（或：的所有子集构成的集簇，或：的所有子集构成的集类），称之为的幂集（合）。1.1.2 集合的运算 1) ； （、的幂等性）若，则，； 2) （空集是加法的零元）， 3) （的交换律） （的交换律） 4) （的结合律） （的结合律）是指标集，则 5) ;（分配律） 6) ； ； ， ； （德摩根（De Mongan）律） 7) ； 8) ； （“减法”分配律） 9) ，； 10) . 1.1.上限集、下限集及其他 定义.1.4 设是任意一列集，称 (1.1.1) 为集列的上限集；它是由属于集列中无数多个集的元素的全体所组成的集合，即：. 称 (1.1.2) 为集列的下限集；它是由属于集列中从某个指标（这个指标不是固定的，与元素有关）以后的所有集都包含的元素的全体（即除去有限多个集外的所有集所含有的元素）所组成的集合，即. 定理1.1. 设是任意一列集，则 ， . (1.1.3) 证 (1) 记，. 往证. 对，由上限集的定义，属于中无限个集，不妨设同时属于. 于是，对任意自然数，当时，，故，即. 反之，对，往证：在中必有无限个集同时含有元素. In fact，取，因为，所以必存在自然数，使得； 又因为，所以必存在自然数，使得； 这样的过程一直进行下去，得到一列自然数，，而集 都含有元素，因此，于是又有. 综上所述，有. (2) 记，. 往证. 对，由下限集的定义，存在自然数（与有关），当时，. 于是，对，即. 反之，对，往证：存在自然数，当时，. In fact，因为，所以存在自然数，使，即当时，. 因此，于是又有. 综上所述，有. 证毕！ 注 若从有关集本身所具有的含义去理解，等式(1.1.)的成立是很明显的。事实上，集 正是命题“集列中从第号以后必有集包含它”成立的元素的全体，而是使命题“一切都包含它”成立的元素的全体。因此就是使命题“对，集列中必存在第号以后的集包含它”成立的元素的全体。显然，命题“对，集列中必存在第号以后的集包含它”和命题“集列中有无限个集包含它”等价，所以. 用同样方式可以考察. ※ 性质 设是任意一列集，是任意一个集，则 (1) ，； (1.1.4) (2) . (1.1.5) 例1.1.1 设（）是如下一列点集： 求的上限集和下限集. 解 ，. ， ， ； 而对，存在自然数，当时，恒有； 即当时，，但. 换句话说，对于开区间中的点，具有充分大的奇数指标的集都含有，从而中有无限多个集含有，而充分大的偶数指标的集都不含有，即中也有无限多个集不含有. 这说明，，. 由. 再由，得. 而. 再由，得 . ※例1.1.2 设. 类似于例1.1.1的讨论，立即得到 . ※ 定义1.1. 若，则称集列收敛，称为集列的极限，记为 . 若集列满足 则称是单调增加（或单调减少）集列；单调增加和单调减少的集列统称为单调集列. 性质 单调集列是收敛的；且 (1) 若是单调增加的，则； (2) 若是单调减少的，则. 显然，