2016年【金识源】年高中数学 .正态分布导学案 苏教版选修-.doc

2.6　正态分布 学习目标 重点、难点 1．了解正态分布的广泛应用性； 2．能说出正态分布的参数μ，σ对正态分布曲线形状与位置的影响； 3．会用正态分布的几个特殊概率值计算相关的概率并应用于实际问题. 重点：认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的几何意义． 难点：求满足标准正态分布的随机变量X在某一范围内的概率值. 1．正态密度曲线 在频率分布直方图中，若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图上的频率折线就将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线． 函数的表达式是，x∈R，此函数为正态分布密度函数．它所表示的曲线叫正态密度曲线．这里有两个参数μ和σ，其中σ＞0，μ∈R，不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线． 1 正态分布密度曲线与μ，σ的关系是怎样的？ 提示：①正态曲线关于直线x＝μ对称；②当x＜μ时，曲线上升，当x＞μ时曲线下降；③曲线的形状由σ确定，σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡． 2．正态分布密度函数的性质 若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a＜X≤b)恰好是正态密度曲线下方和x轴上(a，b]上方所围成的图形面积，我们称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2)． 随机变量X取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%， 落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%， 落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%. 2 若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)的几何意义是什么？ 提示：表示X取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)的概率和正态曲线与X＝μ－σ，X＝μ＋σ以及x轴所围成的图形的面积，大约是68.3%. 在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！ 我的学困点 我的学疑点 1．正态分布密度函数 下列函数中哪个是正态分布密度函数__________． ①；②； ③；④. 思路分析：正态密度函数的表达式为，凡符合此表达式的均为正态分布密度函数． 答案：② 解析：①是错误的，错在系数部分中的σ应在分母的根号外． ②是正确的，它是正态分布密度函数，其中μ＝0，σ＝1. ③是错误的，从系数部分看σ＝2，可从指数部分看σ＝，不统一． ④是错误的，指数部分缺少一个负号． 设一正态总体，它的概率密度曲线是函数的图象，则这个正态总体的均值与方差分别是：μ＝__________，σ2＝__________. 答案：10　4 解析：对比正态密度函数知，μ＝10，σ2＝4. 对于正态分布密度函数，x∈(－∞，＋∞)，析式，而且要知道其中字母是变量还是常量，还要注意指数上的σ和系数的分母上σ是一致的，且指数部分是一个负数. 2．正态分布密度函数的性质 设ξ～N(1,22)，求P(3＜ξ≤5)． 思路分析：要求随机变量ξ在某一范围内的概率，只需借助于正态密度曲线的图象性质以及常见的区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)的概率值进行转化求值． 解：∵P(3＜ξ≤5)＝P(－3＜ξ≤－1)， ∴P(3＜ξ≤5)＝[P(－3＜ξ≤5)－P(－1＜ξ≤3)] ＝[P(1－4＜ξ≤1＋4)－P(1－2＜ξ≤1＋2)] ＝[P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)] ＝×(0.954－0.683)＝0.135 5. 设ξ～N(1,22)，则P(ξ≥5)＝__________. 答案：0.023 解析：∵P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)， ∴P(ξ≥5)＝[1－P(－3＜ξ≤5)] ＝[1－P(1－4＜ξ≤1＋4)] ＝[1－P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)] ＝×(1－0.954)＝0.023. 解答此类题的关键在于充分利用正态分布曲线的对称性，把待求区间的概率向已知区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率进行转化． 3．正态分布的实际应用 在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90,100)． (1)试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率； (2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)内的考生大约有多少人？ 思路分析：正态分布已经确定，则总体的期望μ和方差σ就可以求出，根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解． 解：∵X～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝＝10. (1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X位于区间(70,110)内的概率为0.954. (2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100. 由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内