2016年【湘教考】高三数学（理）一轮复习课时达标：7.6.doc

（本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！） 一、选择题1.以下四个命题中正确的是（） A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B.若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底 C.△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0 D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底 【解析】若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝λ－11－μb＋λ＋μ1－μc，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾. 【答案】B 2.空间四点A(2,3,6)、B(4,3,2)、C(0,0,1)、D(2,0,2)的位置关系是（） A.共线B.共面C.不共面D.无法确定 【解析】∵AB＝(2,0，－4)，AC＝(－2，－3，－5)， AD＝(0，－3，－4). 假设四点共面，由共面向量定理得，存在实数x，y， 使AD＝xAB＋yAC，即2x－2y＝0，① －3y＝－3，② －4x－5y＝－4，③ 由①②得x＝y＝1，代入③式不成立，矛盾. ∴假设不成立，故四点不共面. 【答案】C 如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝π3，则cos〈OA，BC〉的值为（） A.0B.12 C.32 D.22 【解析】设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则|b|＝|c|， 〈a，b〉＝〈a，c〉＝π3，BC＝c－b， ∴OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b ＝|a||c|cos π3－|a||b|cos π3＝0， ∴OA⊥BC，∴cos〈OA，BC〉＝0. 【答案】A 4.如图，点P是单位正方体ABCD-中异于A的一个顶点，则的值为（ ） A．0 B．1 C．0或1 D．任意实数 【解析】 可为下列7个向量： , 其中一个与重合，,与垂直，这时,与的夹角为45°，这时， 最后，故选C. 【答案】 C 5．有以下命题： ①如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系是不共线； ②O，A，B，C为空间四点，且向量O，O，O不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面； ③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底．其中正确的命题是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【解析】　对于①，“如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系一定是共线”，所以①错误．②③正确． 【答案】　C 6.在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足MQ＝λMN的实数λ的个数是（） A.1B.2 C.3 D.4 【解析】建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P(x，y,2)，O(1,1,0)， ∴OP的中点坐标为x＋12，y＋12，1， 又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)， 而Q在MN上，∴xQ＋yQ＝3， ∴x＋y＝1，即点P坐标满足x＋y＝1. ∴有2个符合题意的点P，即对应有2个λ. 【答案】B 二、填空题7．若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________. 【解析】　A＝，A＝， 由a·＝0，a·＝0， 得即 ∴x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)． 【答案】　2∶3∶(－4) 8.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，AM＝12MC1，点N为B1B的中点，则|MN|＝． 【解析】 【答案】 9.(2013·寿光模拟)如图，在30°的二面角 αl-β的棱上有两点A，B，点C，D分别在α，β内，且AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝AB＝1，则CD的长度为. 【解析】由及，〈〉＝150°，得 【答案】 10.已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是???? ??.【解析】?设＝λ＝(λ，λ，2λ)，则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ).∴＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝.∴当λ＝时，取最小值为－.此时，＝，即Q点的坐标是. 【答案】  三、解答题11.已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝， (1)若|c|