2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习讲义：第章 函数与基本初等函数I.4.doc

§2.4　二次函数与幂函数 1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增； 在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 2.幂函数 (1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较 (3)幂函数的性质比较 函数 特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增； x∈(－∞，0]时，减 增 增 x∈(0，＋∞) 时，减； x∈(－∞，0)时，减 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　×　) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(　×　) (3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(　×　) (4)当n0时，幂函数y＝xn是定义域上的增函数．(　×　) (5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±.(　×　) (6)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2.(　×　) 1．设b0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为(　　) A. B. C．1 D．－1 答案　D 解析　因为b0，故对称轴不可能为y轴，由给出的图可知对称轴在y轴右侧，故a0，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故a2－1＝0，a＝±1，又a0，所以a＝－1，故选D. 2．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________． 答案　[1,2] 解析　y＝x2－2x＋3的对称轴为x＝1. 当m1时，y＝f(x)在[0，m]上为减函数． ∴ymax＝f(0)＝3，ymin＝f(m)＝m2－2m＋3＝2. ∴m＝1与m1矛盾，舍去． 当1≤m≤2时，ymin＝f(1)＝12－2×1＋3＝2，ymax＝f(0)＝3. 当m2时，ymax＝f(m)＝m2－2m＋3＝3， ∴m＝0或m＝2，与m2矛盾，舍去． 综上所述，1≤m≤2. 3．若幂函数y＝(m2－3m＋3)x的图象不经过原点，则实数m的值为________． 答案　1或2 解析　由，解得m＝1或2. 经检验m＝1或2都适合． 4．(2014·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是________． 答案　(－，0) 解析　作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0，则有 即解得－m0. 题型一　二次函数的图象和性质 例1　已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)当a＝－2时，求f(x)的最值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间． 解　(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]， ∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增， ∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35. (2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4. (3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3， ∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]， 且f(x)＝ ∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]． 思维升华　(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解． 　(