2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习讲义：第章 函数与基本初等函数I.3.doc

§2.3　函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(　×　) (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　√　) (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(　√　) (4)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝2.(　√　) (5)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)(a0)，则f(x)是周期为2a的周期函数．(　√　) (6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 016)＝0.(　√　) 1．(2013·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 A 解析　f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2. 2．f(x)＝ax2＋bx[a－1,2a]，a＋b(　　) A．－ B. C. D．－ 答案　B 解析　依题意b＝0，且2a＝－(a－1)， ∴a＝，则a＋b＝. 3．(2014·四川)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f()＝________. 答案　1 解析　函数的周期是2， 所以f()＝f(－2)＝f(－)， 根据题意得f(－)＝－4×(－)2＋2＝1. 4．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是________． 答案　(－1,0)∪(1，＋∞) 解析　画草图，由f(x)为奇函数知：f(x)0的x的取值范围为 (－1,0)∪(1，＋∞)． 题型一　判断函数的奇偶性 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3－x； (2)f(x)＝(x＋1) ； (3)f(x)＝ 解　(1)定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－(x3－x) ＝－f(x)， 所以函数为奇函数． (2)由≥0可得函数的定义域为(－1,1]． ∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数． (3)当x0时，－x0，f(x)＝－x2＋x， ∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x ＝－(－x2＋x) ＝－f(x)； 当x0时，－x0，f(x)＝x2＋x， ∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x ＝－(x2＋x)＝－f(x)． 所以对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 均有f(－x)＝－f(x)． ∴函数为奇函数． 思维升华　(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤： (2)在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 　(1)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则(　　) A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 (2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)等于(　　) A．1 B．－1 C. D．－ 答案　(1)B　(2)B 解析　(1)由f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)可知f(x)为偶函数，由g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－g(x)可知g(x)为奇函数． (2)∵f(2)＝22－3＝1. 又f(x)为奇函数， ∴f(－2)＝－f(2)＝－1. 题型二　函数周期性的应用 例2　(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)等于(　　) A．335 B．336 C．1 678 D．2 012 (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x