2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习讲义：第章 函数与基本初等函数I..doc

§2.1　函数及其表示 1．函数的基本概念 (1)函数的定义 设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域． (3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． (5)分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 2．函数定义域的求法 类型 x满足的条件 ，n∈N* f(x)≥0 与[f(x)]0 f(x)≠0 logaf(x)(a0，a≠1) f(x)0 logf(x)g(x) f(x)0，f(x)≠1，g(x)0 tan f(x) f(x)≠kπ＋，k∈Z f(g(x))(f(x)定义域为[a，b]) a≤g(x)≤b的解集 四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集 实际问题 使实际问题有意义 3.函数解析式的求法 求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．(　×　) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(　×　) (3)若函数f(x)的定义域为{x|1≤x3}，则函数f(2x－1)的定义域为{x|1≤x5}．(　×　) (4)f(x)＝ 则f(－x)＝(　√　) (5)函数是特殊的映射．(　√　) (6)函数f(x)＝＋1的值域是{y|y≥1}．(　×　) 1．(2014·江西)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(　　) A．(0,1) B．[0,1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 答案　C 解析　要使f(x)＝ln(x2－x)有意义，只需x2－x0， 解得x1或x0. 所以函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为 (－∞，0)∪(1，＋∞)． 2．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是(　　) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x 答案　C 解析　将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等． 对于A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)； 对于B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)； 对于C，f(2x)＝2x＋1≠2f(x)； 对于D，f(2x)＝－2x＝2f(x)， 故只有C不满足f(2x)＝2f(x)，所以选C. 3．已知函数f(x)＝则满足方程f(a)＝1的所有a的值组成的集合为________． 答案　{3,0} 解析　当a0时，由log3a＝1，解得a＝30，符合题意，当a≤0时，由()a＝1，解得a＝0，符合题意，综上所述，a＝0或a＝3. 4．给出下列四个命题： ①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝＋是函数；③函数y＝2x (x∈N)的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合． 其中真命题的序号有________． 答案　①② 解析　对于①函数是映射，但映射不一定是函数； 对于②f(x)是定义域为{2}，值域为{0}的函数； 对于③函数y＝2x (x∈N)的图象不是一条直线； 对于④函数的定义域和值域不一定是无限集合. 题型一　函数的概念 例1　有以下判断： ①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数； ②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个； ③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数； ④若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案　②③ 解析　对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③. 思维升华