2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习讲义：第章 不等式.3.doc

§7.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线． (2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域． 2．线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的一次不等式 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 3.应用 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域． (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形． (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式Ax＋By＋C0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　×　) (2)不等式x2－y20表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域．(　√　) (3)不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分．(　×　) (4)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．(　√　) (5)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．(　√　) (6)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　×　) 1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是(　　) A．(0,0) B．(－1,1) C．(－1,3) D．(2，－3) 答案　C 解析　把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C. 2．若实数x，y满足不等式组则该约束条件所围成的平面区域的面积是(　　) A．3 B. C．2 D．2 答案　C 解析　因为直线x－y＝－1与x＋y＝1互相垂直， 所以如图所示的可行域为直角三角形， 易得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)， 故|AB|＝，|AC|＝2，其面积为×|AB|×|AC|＝2. 3．若点(m,1)在不等式2x＋3y－50所表示的平面区域内，则m的取值范围是(　　) A．m≥1 B．m≤1 C．m1 D．m1 答案　D 解析　由2m＋3－50，得m1. 4．(2014·湖南)若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________. 答案　－2 解析　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝2x＋y，则y＝－2x＋z.易知当直线y＝－2x＋z过点A(k，k)时，z＝2x＋y取得最小值，即3k＝－6，所以k＝－2. 题型一　二元一次不等式(组)表示的平面区域 例1　(1)若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是(　　) A. B. C. D. (2)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________． 答案　(1)A　(2) 解析　(1)不等式组表示的平面区域如图所示． 由于直线y＝kx＋过定点.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域． 因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D. 当y＝kx＋过点时，＝＋， 所以k＝. (2)两直线方程分别为x－2y＋2＝0与x＋y－1＝0. 由(0,0)点在直线x－2y＋2＝0右下方可知x－2y＋2≥0， 又(0,0)点在直线x＋y－1＝0左下方可知x＋y－1≥0， 即为所表示的可行域． 思维升华　二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法： 直线定界，测试点定域． 注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点． 　(1)在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a的值为(　　) A．－5 B．3 C．5 D．7 A．5 B．6 C．7 D．8 A．3