2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习讲义：第章 不等式.2.doc

§7.2　一元二次不等式及其解法 1．“三个二次”的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ0 Δ＝0 Δ0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a0)的根 有两相异实根x1，x2(x1x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c0 (a0)的解集 {x|xx1或xx2} {x|x≠x1} {x|x∈R} ax2＋bx＋c0 (a0)的解集 {x|x1 xx2} ? ? 2.(x－a)(x－b)0或(x－a)(x－b)0型不等式的解法 不等式 解集 ab a＝b ab (x－a)·(x－b)0 {x|xa或xb} {x|x≠a} {x|xb或xa} (x－a)·(x－b)0 {x|axb} ? {x|bxa} 口诀：大于取两边，小于取中间． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若ax＋b0，则x－.(　×　) (2)不等式－x2－5x＋60的解集为{x|x－6或x1}．(　√　) (3)不等式≤0的解集是[－1,2]．(　×　) (4)若不等式ax2＋bx＋c0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　√　) (5)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.(　×　) (6)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ＝b2－4ac≤0.(　×　) 1．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．[0,3] B．(0,3) C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞) 答案　A 解析　由3x－x2≥0得 x(x－3)≤0，∴0≤x≤3， ∴函数f(x)＝的定义域为[0,3]． 2．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a0的解集是(　　) A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞) C. D.∪ 答案　A 解析　由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－＋＝，－×＝－.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a0即为x2－5x＋60，解集为(2,3)． 3．不等式≤0的解集为(　　) A．{x|x1或x≥3} B．{x|1≤x≤3} C．{x|1x≤3} D．{x|1x3} 答案　C 解析　原不等式可化为 ∴1x≤3. 故原不等式的解集为{x|1x≤3}． 4．已知不等式x2－2x＋k2－10对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为______________． 答案　(－∞，－)∪(，＋∞) 解析　由题意，知Δ＝4－4×1×(k2－1)0， 即k22，∴k或k－. 题型一　一元二次不等式的解法 例1　求下列不等式的解集： (1)－x2＋8x－30； (2)ax2－(a＋1)x＋10. 解　(1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝520， 所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实根x1＝4－，x2＝4＋. 又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x|4－x4＋}． (2)若a＝0，原不等式等价于－x＋10，解得x1. 若a0，原不等式等价于(x－)(x－1)0，解得x或x1. 若a0，原不等式等价于(x－)(x－1)0. ①当a＝1时，＝1，(x－)(x－1)0无解； ②当a1时，1，解(x－)(x－1)0得x1； ③当0a1时，1，解(x－)(x－1)0得1x. 综上所述：当a0时，解集为{x|x或x1}； 当a＝0时，解集为{x|x1}；当0a1时，解集为{x|1x}；当a＝1时，解集为?；当a1时，解集为{x|x1}． 思维升华　含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论． (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论； (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 　(1)若不等式ax2＋bx＋20的解为－x，则不等式2x2＋bx＋a0的解集是________． (2)不等式≤0的解集是________． 答案　(1)(－2,3)　(2)(－，1] 解析　(1)由题意，知－和是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两根且a0， 所以解得 则不等式2x2＋bx＋a0即2x2－2x－120，其解集为{x|－2x3}． (2)原不等式等价于(*) 由(*)解得－x≤1. 题型二　一元二次不等式的恒成立问题 例2　设函数f(x)＝mx2－mx