2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习讲义：第章 三角函数、解三角形.7.doc

§4.7　正弦定理、余弦定理 1．正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C cos A＝；cos B＝；cos C＝ 2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r)，R、r. 3．2sin Asin B＝sin B，∴sin A＝. 又A为锐角，∴A＝. 2．(2013·陕西)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 答案　B 解析　由bcos C＋ccos B＝asin A，得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sin A＝1，由0Aπ，得A＝，所以△ABC为直角三角形． 3．(2014·江西)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　) A．3 B. C. D．3 答案　C 解析　∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.① ∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.② 由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6. ∴S△ABC＝absin C＝×6×＝. 4．(2014·广东)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝______. 答案　2 解析　方法一　因为bcos C＋ccos B＝2b， 所以b·＋c·＝2b， 化简可得＝2. 方法二　因为bcos C＋ccos B＝2b， 所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin B， 故sin(B＋C)＝2sin B， 故sin A＝2sin B，则a＝2b，即＝2. 题型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1　(2013·山东)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝. (1)求a，c的值； (2)求sin(A－B)的值． 解　(1)由余弦定理得： cos B＝＝＝， 即a2＋c2－4＝ac. ∴(a＋c)2－2ac－4＝ac，∴ac＝9. 由得a＝c＝3. (2)在△ABC中，cos B＝， ∴sin B＝＝ ＝. 由正弦定理得：＝， ∴sin A＝＝＝. 又A＝C，∴0A，∴cos A＝＝， ∴sin (A－B)＝sin Acos B－cos Asin B ＝×－×＝. 思维升华　(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 　(1)(2014·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sin B＝3sin C，则cos A的值为________． (2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos B＝，b＝3，则c＝________. 答案　(1)－　(2) 解析　(1)由2sin B＝3sin C及正弦定理得2b＝3c， 即b＝c. 又b－c＝a，∴c＝a，即a＝2c. 由余弦定理得cos A＝＝ ＝＝－. (2)在△ABC中，∵cos A＝0，∴sin A＝. ∵cos B＝0，∴sin B＝. ∴sin C＝sin[－(A＋B)]＝sin(A＋B) ∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝. ∴sin B＋cos B＝，sin(B＋30°)＝1. ∵0°B120°，∴30°B＋30°150°. ∴B＋30°＝90°，B＝60°. －＝sin 2A－sin 2B， sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B， sin＝sin. 由a≠b，A≠B.又A＋B∈(0，)， 2A－＋2B－＝， A＋B＝，C＝. (2)由c＝，sin A＝，＝，a＝. 由ac，AC，cos A＝， sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C sin A·sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B.[8] 在△ABC中，02A2，02B