2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习讲义：第章 三角函数、解三角形.5.doc

§4.5　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β)) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β　(C(α＋β)) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β　(S(α－β)) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β　(S(α＋β)) tan(α－β)＝　(T(α－β)) tan(α＋β)＝　(T(α＋β)) 2． sin 2α＝2sin_cos_α； cos 2＝cos2－sin2＝2cos2－1＝1－2sin2； tan 2α＝. 3．C. D．－ 答案　(1)A　(2)C 解析　(1)由根与系数的关系可知 tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2. ∴tan(α＋β)＝＝＝－3. 故选A. (2)cos(α＋) ＝cos[(＋α)－(－)] ＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)． ∵0α， 则＋α， ∴sin(＋α)＝. 又－β0， 则－， 则sin(－)＝. 故cos(α＋)＝×＋×＝.故选C. 思维升华　三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系． 　(1)若α∈(，π)，tan(α＋)＝，则sin α等于(　　) A. B. C．－ D．－ (2)计算：－sin 10°(－tan 5°)＝________. 答案　(1)A　(2) 解析　(1)∵tan(α＋)＝＝， ∴tan α＝－＝， ∴cos α＝－sin α. 又∵sin2α＋cos2α＝1， ∴sin2α＝. 又∵α∈(，π)，∴sin α＝. (2)原式＝－sin 10°· ＝－ tan ＋tan ＋tan tan ＝tan＋tan tan ＝＋tan tan ＝. 题型三　三角函数公式运用中角的变换 例3　(1)已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.则sin(α－β)＝________，cos β＝________. (2)(2013·课标全国Ⅱ)已知sin 2α＝，则cos2等于(　　) A. B. C. D. 答案　(1)－　　(2)A 解析　(1)∵α，β∈(0，)，从而－α－β. 又∵tan(α－β)＝－0， ∴－α－β0. ∴sin(α－β)＝－，cos(α－β)＝. ∵α为锐角，sin α＝，∴cos α＝. ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝×＋×(－)＝. (2)因为cos2＝ ＝＝， 所以cos2＝＝＝，选A. 思维升华　1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝(α＋)－(＋β)等． 　(1)设α、β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β等于(　　) A. B. C.或 D.或 (2)已知cos(α－)＋sin α＝，则sin(α＋)的值是________． 答案　(1)A　(2)－ 解析　(1)依题意得sin α＝＝， cos(α＋β)＝±＝±. 又α，β均为锐角，所以0αα＋βπ，cos αcos(α＋β)． 因为－， 所以cos(α＋β)＝－. 于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－×＋×＝. (2)∵cos(α－)＋sin α＝， ∴cos α＋sin α＝， (cos α＋sin α)＝， sin(＋)＝， ∴sin(＋)＝， ∴sin(＋)＝－sin(＋)＝－. 高考中的三角函数求值、化简问题 典例：(1)若tan 2θ＝－2，π2θ2π，则＝________. (2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tan α＝，则(　　) A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ (3)(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α等于(　　) A．－ B．－ C. D. (4)(2012·重庆)等于(　　) A．－ B．－ C. D. 思维点拨　(1)注意和差公式的逆用及变形． (2)“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找α，β的关系． (3)可以利用sin2α＋cos2α＝1寻求si