2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习讲义：第章 三角函数、解三角形.3.doc

§4.3　三角函数的图象与性质 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)． 余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z} 值域 [－1,1] [－1,1] R 单调性 [－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增； [＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减 [－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增； [2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减 (－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z) 对称轴方程 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 周期 2π 2π π 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)常函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期．(　√　) (2)y＝sin x在x∈[0，]上是增函数．(　√　) (3)y＝cos x在第一、二象限上是减函数．(　×　) (4)y＝tan x在整个定义域上是增函数．(　×　) (5)y＝ksin x＋1(x∈R)，则ymax＝k＋1.(　×　) (6)若sin x，则x.(　×　) 1．(2014·陕西)函数f(x)＝cos(2x－)的最小正周期是(　　) A. B．π C．2π D．4π 答案　B 解析　最小正周期为T＝＝＝π.故选B. 2．若函数f(x)＝sin ωx (ω0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于(　　) A. B. C．2 D．3 答案　B 解析　∵f(x)＝sin ωx(ω0)过原点， ∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数； 当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数． 由f(x)＝sin ωx (ω0)在上单调递增， 在上单调递减知，＝，∴ω＝. 3．(2013·湖北)将函数y＝cos x＋sin x(x∈R) 的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　y＝cos x＋sin x＝2sin(x＋)向左平移m个单位长度后得到y＝2sin(x＋＋m)，它关于y轴对称可得 sin(＋m)＝±1， ∴＋m＝kπ＋，k∈Z， ∴m＝kπ＋，k∈Z， ∵m0，∴m的最小值为. 4．函数y＝lg sin 2x＋的定义域为________________． 答案　{x|－3≤x－或0x} 解析　由 得 ∴－3≤x－或0x. ∴函数y＝lg sin 2x＋的定义域为 {x|－3≤x－或0x}. 题型一　求三角函数的定义域和值域 例1　(1)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　) A．2－ B．0 C．－1 D．－1－ (2)函数y＝的定义域为_________________________________________． 答案　(1)A　(2){x|x≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z} 解析　(1)利用三角函数的性质先求出函数的最值． ∵0≤x≤9，∴－≤x－≤， ∴sin∈. ∴y∈，∴ymax＋ymin＝2－. (2)要使函数有意义， 即 故函数的定义域为{x|x≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z}． 思维升华　(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目： ①形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)； ②形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； ③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 　(1)函数y＝的定义域是________． (2)(2013·天津)函数f(x)＝sin在区间上的最小值为(　　) A．－1 B．－ C. D．0 答案　(1){x|2kπ＋≤x≤2kπ＋π，