2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习讲义：第9章 解析几何9.9.doc

§9.9　曲线与方程 1．曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 2．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系． (2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)． (3)列式——列出动点P所满足的关系式． (4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简． (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程． 3．两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点． (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(　√　) (2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(　×　) (3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(　×　) (4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　×　) 1．方程(x2＋y2－4)＝0的曲线形状是(　　) 答案　C 解析　由题意可得x＋y＋1＝0或 它表示直线x＋y＋1＝0和圆x2＋y2－4＝0在直线x＋y＋1＝0右上方的部分． 2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(　　) A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0 答案　D 解析　由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0. 3．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋ (a0)，则点P的轨迹是____________． 答案　椭圆或线段 解析　∵a＋≥2＝6. 当a＝3时，a＋＝6，此时|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|， P点的轨迹为线段F1F2， 当a≠3，a0时，|PF1|＋|PF2||F1F2|. 由椭圆定义知P点的轨迹为椭圆． 4．已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是____________． 答案　射线 解析　∵|MN|＝4，∴|PM|－|PN|＝|MN|. ∴P点的轨迹是射线. 题型一　定义法求轨迹方程 例1　已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线． 思维点拨　利用两圆相切的几何性质得出M的等量关系，结合圆锥曲线定义求方程． 解　如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系． 由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)、O2(2,0)．设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1； 由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2. ∴|MO2|－|MO1|＝3. ∴点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支． ∴a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝. ∴点M的轨迹方程为－＝1 (x≤－)． 思维升华　应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解． 　如图所示，已知C为圆(x＋)2＋y2＝4的圆心，点A(，0)，P是圆上的动点，点Q在直线CP上，且·＝0，＝2.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程． 解　圆(x＋)2＋y2＝4的圆心为C(－，0)，半径r＝2，∵·＝0，＝2，∴MQ⊥AP，点M是线段AP的中点，即MQ是AP的垂直平分线，连接AQ， 则|AQ|＝|QP|， ∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝r＝2， 又|AC|＝22，根据双曲线的定义，知点Q的轨迹是以C(－，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c＝，a＝1，得b2＝1，因此点Q的轨迹方程为x2－y2＝1. 题型二　相关点法求轨迹方程 例2　设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程． 思维点拨