2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习讲义：第4章 三角函数、解三角形4.4.doc

§4.4　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈[0，＋∞) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示. x ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下： 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)作函数y＝sin(x－)在一个周期内的图象时，确定的五点是(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)这五个点．(　×　) (2)将函数y＝3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin(2x＋)．(　×　) (3)函数y＝sin(x－)的图象是由y＝sin(x＋)的图象向右移个单位长度得到的．(　√　) (4)函数y＝sin(－2x)的递减区间是(－－kπ，－－kπ)，k∈Z.(　×　) (5)函数f(x)＝sin2x的最小正周期和最小值分别为π，0.(　√　) (6)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　√　) 1．(2014·四川)为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点(　　) A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动1个单位长度 D．向右平行移动1个单位长度 答案　A 解析　y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝sin 2(x＋)的图象，即函数y＝sin(2x＋1)的图象． 2．(2013·四川)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0，－φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　) A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4， 答案　A 解析　∵T＝－，∴T＝π，∴ω＝2， ∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z， 又φ∈，∴φ＝－，故选A. 3．设函数f(x)＝cos ωx (ω0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于(　　) A. B．3 C．6 D．9 答案　C 解析　由题意可知，nT＝ (n∈N*)， ∴n·＝ (n∈N*)， ∴ω＝6n (n∈N*)，∴当n＝1时，ω取得最小值6. 4．设函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω0，－φ)的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f(x)的图象过点(0，)； ②f(x)在[，]上是减函数； ③f(x)的一个对称中心是(，0)； ④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y＝3sin ωx的图象． 答案　①③ 解析　∵周期为π，∴＝π?ω＝2， ∴f(x)＝3sin(2x＋φ)，f(π)＝3sin(＋φ)， 则sin(＋φ)＝1或－1. 又φ∈(－，)，＋φ∈(，π)， ∴＋φ＝?φ＝， ∴f(x)＝3sin(2x＋)． ①：令x＝0?f(x)＝，正确． ②：令2kπ＋2x＋2kπ＋，k∈Z ?kπ＋xkπ＋，k∈Z. 令k＝0?x， 即f(x)在(，π)上单调递减，而在(，)上单调递增，错误． ③：令x＝?f(x)＝3sin π＝0，正确． ④：应平移个单位长度，错误. 题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 例1　设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相； (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (3)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的． 解　(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx ＝2(sin ωx＋cos ωx)＝2sin(ωx＋)， 又∵T＝π，∴＝π，即ω＝2. ∴f(x)＝2sin(2x＋)． ∴函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx的振幅为2，初相为. (2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sin X. 列表，并描点画出图象： x － X 0 π 2π y＝sin X 0 1 0 －1 0 y＝2sin 0 2 0 －2 0 (3)方法一　把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象． 方法二　将y＝sin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，