2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习讲义：第3章 导数及其应用 3.3.doc

§3.3　导数的综合应用 1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． 2．不等式问题 (1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题． (2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题． 3．方程解的个数问题 构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)连续函数在闭区间上必有最值．(　√　) (2)函数f(x)＝x2－3x＋2的极小值也是最小值．(　√　) (3)函数f(x)＝＋x－1和g(x)＝－x－1都是在x＝0时取得最小值－1.(　×　) (4)函数f(x)＝x2ln x没有最值．(　×　) (5)已知x∈(0，)，则sin xx.(　×　) (6)若a2，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上没有实数根．(　×　) 1．(2014·湖南)若0x1x21，则(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　设f(x)＝ex－ln x(0x1)， f′(x)＝ex－＝. 令f′(x)＝0，xex－1＝0. 0x1x21，∴g(x1)g(x2)， ∴. 2．sin x≥x. 记H(x)＝sin x－x， 则当x∈(0,1)时，H′(x)＝cos x－10， 所以H(x)在[0,1]上是减函数， 则H(x)≤H(0)＝0，即sin x≤x. 综上，x≤sin x≤x，x∈[0,1]． 题型二　利用导数研究函数零点问题 例2　(2013·北京)已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x. (1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值； (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围． 解　(1)由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x， 得f′(x)＝x(2＋cos x)． ∵y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切． ∴f′(a)＝a(2＋cos a)＝0且b＝f(a)， 则a＝0，b＝f(0)＝1. (2)令f′(x)＝0，得x＝0. ∴当x0时，f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)上递增． 当x0时，f′(x)0，f(x)在(－∞，0)上递减． ∴f(x)的最小值为f(0)＝1. ∵函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调， ∴当b1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点． 综上可知，b的取值范围是(1，＋∞)． 思维升华　函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一． 　已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围． 解　(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)， 当a0时，对x∈R，有f′(x)0， ∴当a0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)． 当a0时，由f′(x)0， 解得x－或x. 由f′(x)0，解得－x， ∴当a0时，f(x)(－∞，－)，(，＋∞)，(－，)． A．5 B. C．3 D. 答案　D 解析　∵h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立， ∴h7(x0)≥ht(x0)max.记g(t)＝ht(x0)＝3tx0－，则g′(t)＝3x0－，令g′(t)＝0，得t＝x，易得ht(x0)max＝g(x)＝x，∴21x0－14≥x，将选项代入检验可知选D. 6．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax(a)，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a＝________. 答案　1 解析　∵f(x)是奇函数，且当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，∴f(x)在(0,2)上的最大值为－1.当x∈(0,2)时，f′(x)＝－a，令f′(x)＝0得x＝，又a，∴02.当x时，f′(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当x时，f′(x)0，f(x)在(，2)上单调递减，∴f(x)max＝f()＝ln－a·＝－1，解得a＝1. 7．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________. 答案　－2或2 解析　设f(x