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146 具有中心的一类三次系统的全局拓扑结构和奇点分支 具有中心的一类三次 系统的全局拓扑结构和奇点分支 韩玉良 (中国煤炭经济学院经济信息系 烟台264005) 摘要本文给出了奇点Pl为三次系统(1，1)的中心的充要条件，并通过对有限奇点和无穷远 奇点的分析，给出了H为中心时系统系统(1，1)的所有的全局拓扑相图和奇点分支图。 关键词三次系统中心拓扑结构分支 ^● 1．学f洁 一 文‘13研究了三次系统 恤x=y+(2。kx：3++阿2／,x92y+耐一y3L；=2x(∞2+阿+y2) (t，，) 其中＆24-a2≠O。 是初等非鞍点，由系统的对称性，P，和户，具有完全相同的形态。我们有 定理1．1 P1是系统(1，1)的中心，当且仅当下歹lj条件之一戒立： 算得到各轿焦点量为 。 ∞l=辛[3眉一5(2z十1‘)] ∞z=高印(z+1) ‘：一．|j 。 ∞3=去o(“+：!)(2￡+3) ∞】=0(i=4，5，…) 当m；0时，不失一般性，我们可以假设A≥O。 设H=孝，==i1，出=了1出，则系统(1，1)。：。变成 微分方程理论和应用 147 Z2+厂(n) f妻=一1u2 (1．2) l害=一2妇一2妇“：一w3 其中，(M)=u4+2(1一E)Ⅱ2+2(卢～k)H+2a。 都从下到上穿过左半直线，而从上到下穿过右半直线。 证明设F=Y—UOx，则 譬l：[安一+安k：一。：。+，(U,0U．0 )。uG’x L百一万J…2一“。。+八垆一 石lⅢ2 m 咐 所以，当xo时，警}。一0o，轨线从上到下穿过直线；当*o时，警lIJ，： F：0o，轨线从下到上穿该过 直线。 引理1．2当P，是中心时，若。≥0，则o(o，O)为鞍点；若dO，则0为中心。 (O，0)必为(1，1)的中心。 以下我们按定理1．1的三种情形分别讨论。 2．对称系统 当m=k=口=0时，(1，1)和(1，2)分别简化为 亿·，、…7 ：li：≈ + ) 隹豢(20x22黑2y2’ z2+m’ 和 f，=-U2 (2．2) I孚=一2地+Ⅱ3；一口3 其中“u)=u4+2(1一f)／／2：+2a，a≠0． 设”=Ⅱ2，则方程“u)=0变成 t‘，2+2(1一f)w+2a=0 ’(*) 记△=(1