2015数学竞赛测试题二及解答 .docVIP

2008数学竞赛测试题二 学院 班级 姓名 编号 得分 　 1. （7分）设函数在的某一邻域内具有一阶连续导数，且，，求． 解：由，得： 从而： ， 所以 2. （7分）求． 解：先求 的和函数，设 ＝ 所以： 3. （7分）求不定积分． 解： 4. （7分）计算定积分． 解： ， 移项，得： 5. （7分）求（）． 解： 6. （7分）求，其中． 解 原式 7. （7分）在抛物线上求一点，使该点与定点（为常数）的距离最短． 解：设是抛物线上的任意一点，则距离是 记 ， 令 得： （1）当 时， 是上的唯一驻点， 又因为，所以是上的最小值点，此时，所求点的坐标为 （2）当 时，，单调增加，是上的最小值点，此时，所求点的坐标为 8. （7分）求由抛物线与直线所围图形绕直线旋转一周所形成的旋转体的体积． 解：抛物线上任意一点（x，y）到直线 y＝m x 的距离为 于是垂直于x轴的截面面积为 所以，体积 9. （7分）设与均为正项级数，且满足，试讨论这两个级数收敛性之间的关系，并证明你的结论． 结论：由收敛可得收敛，反之不真。 由收敛可得收敛的证明如下： 因为： 所以：， 即： 从而 ，由正项级数的比较判别法当收敛可得收敛； 由收敛不能得收敛的例如下： 取 ，， 收敛， 满足，但 发散。 10. （7分）设在上二阶可导，且，又，证明：存在一点，使． 证：在上满足零点定理的条件，存在，使； 显然：在上满足Rolle定理的条件，存在，使得； 又因为 ，所以 故在上满足Rolle定理的条件，存在， 使得 ，证毕。 11. （7分）设在上二阶可导，且，，证明：对， 有． 证：由泰勒公式，对任意，有 两式相减，得 所以： 12. （7分）设为常数，求幂级数的收敛域． 解： 所以收敛半径 ，收敛区间 当时，原级数为 当时，原级数为 （1）若，则由 ，知 ， 都发散， 此时，收敛域为 （2）若，因为 所以从 发散可得 也发散 而用交错级数的莱布尼兹审敛法可知 收敛 此时，收敛域为 （3）若，用交错级数的莱布尼兹审敛法可知 收敛 发散，原因见下 考虑 前面n项的和 所以 发散 故 时，收敛域为 （4）若，因为 所以从 收敛可得 也收敛 显然 也收敛 此时，收敛域为 13. （8分）试确定函数有几个零点． 解：观察可得： 是 的两个零点； ， 显然只有一个零点，故至多有两个零点，从而 至多有三个零点； 由于， 所以： 即存在 ，使，根据零点定理，存在 ，使 综上所述，恰有三个零点。 14. （8分）设在闭区间上连续，且，试求： 解：设，则 ， 数学竞赛测试题二　第6页（共12页）