基于近似解析离散化逼近算子交错网格方法.pdfVIP

l 中国地球物理201 ·715· (20)地震波传播与成像探查 基于近似解析离散化逼近算子的交错网格方法 A methodbasedonthe staggeredgrid nearly—analytic discrete approximateoperator 井浩‘杨顶辉马啸 Hao XiaoMa Jing+DinghuiYang 清华大学数学科学系 北京100084 E—mail：jingha00320@126．com 近些年来，地震勘探技术越来越多地应用到油气勘探领域与地质结构研究中。地震勘探中有两个基本 问题：正演和反演。正演模拟问题是在已知地下介质结构和相关参数的基础上，通过数值计算方法来研究 地震波在介质中的传播规律；反演问题是已知地震记录，通过反演方法获得地球内部结构或信息。这其中， 正演是反演的基础。在对地震波传播过程进行模拟时，通常将地下岩层看成弹性介质，将在地球介质中传 播的地震波看成弹性波，从而可以使用弹性波方程研究地震波传播。我们知道弹性波方程是一类偏微分方 程，只有极其少数的偏微分方程才可以求出解析解，这就需要借助数值方法来求其数值解。所以为了更好 地认识地球内部结构，必须发展高效、精确的数值模拟方法。 现今被普遍使用的数值方法包括有限差分法、反射率法、谱元法、有限元法等，但这些方法各有优缺点。 其中最常用的有限差分数值模拟方法只采用网格点处的位移重构空间高阶偏导数，为达到更高的精度就只能 增加采样点数，从而增加了计算量，而近似解析离散化方法(NADM)则解决了这个问题。该方法由杨顶辉 等于2003年提出，其基本思想是将一种近似解析离散化算子引入波动方程的数值求解中【11，该算子是基于截 断的泰勒展式来构造空间局部插值函数，通过插值连接关系来获得用位移及其梯度表示的高阶偏导数的计算 公式，以作为空间高阶偏导数的近似，从而实现空间离散目的。应用该离散算子，并结合不同的时间离散格 式，杨顶辉等发展了NADM、ONADM、RNADM等多种能有效压制数值频散的波动方程数值算法。 众所周知，使用精细网格可以有效地压制数值频散，但这将会导致计算量和存储量的迅速增大，从而 难以实现大尺度的波场模拟。而交错网格的使用可以在不增加计算量和存储空间的基础上，提高数值模拟 的局部精度。在本研究中，我们将交错网格技术应用于近似解析离散化方法，即在近似解析离散化方法的 基础上，对时间导数进行离散时采用交错网格代替常规网格，从而获得关于时间交错的NADM。下面给出 这种算法的基本过程。 考虑均匀各向同性介质中的二维声波方程，为了实现时间上的交错，将位移场u定义在离散时间n一1／2 场的时间层推进公式如下。 吲氓+(△，)彤{+去(△f)，掌u冉u冉(△，)W¨n+击(△f)3鲁 其中，P；aW／af。 然后利用波动方程将速度场和位移场时间层推进公式中关于时间的高阶偏导数转化成关于空间的高 阶偏导数，转化过程中保持时间层不变。这样只需知道n+l／2时刻U关于空间的高阶偏导数和n时刻∥关 于空间的高阶偏导数，即可计算下一时刻的速度场和位移场，从而实现地震波场传播的时间推进计算。而 对于空间高阶偏导数的计算，本文采用与其他NAD类算法相同的离散方法进行计算pJ。 此外，本文还对这种新算法的精度、稳定性条件和频散关系等理论问题进行了研究，结果表明这种新 格式在时间上具有五阶精度，在空间上具有四阶精度，满足稳定性条件的最大库朗数为0．459。同时波场 模拟结果表明本文方法相比其它方法能更好地压制数值频散并节约计算时间。 参考文献 discretemetllodforacousti