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高考热点板块——函数专题 第一课 映射、函数概念 知能目标 函数的概念包括函数的定义域、值域、解析 知识概要： 1. 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y＝f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）| x∈A }叫做函数的值域． 注意：①如果只给出解析式y＝f（x），而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；②函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 定义域补充：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：（1）（2）（3）（4）1．（5）．x的值组成的集合．（）．1）函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域．2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础．3）求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、均值不等式法、单调性法、数形结合法．B为从集合A到集合B的一个映射．记作“f：AB” 给定一个集合A到B的映射，如果a∈A，b∈B．且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象 说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象． 4. 常用的函数表示法及注意点： ①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，描点法作图要注意确定函数的定义域；②解析法：必须注明函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；③列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． 优点：解析法：便于算出函数值．列表法：便于查出函数值．图象法：便于量出函数值 补充一：分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数．在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式．分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 补充二：复合函数 如果y＝f（u），（u（a＞1），则0＜f（a）＜1 评注：借助特殊函数直接解抽象函数客观题是常用的解题处理方法，可迅速得到正确答案。 常见函数类型 (一）正比例函数，一次函数，反比例函数 1.正比例函数 2.一次函数 其图象为一直线，时增函数，时减函数。而时为常数函数。 3.反比例函数 定义域，值域，图象是双曲线，时在上递减，时在递增。 (二）二次函数 1．二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式： (2)顶点式（配方式）：其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。 (3)两根式（因式分解）：，其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。 求一个二次函数的解析式需三个独立条件，如：已知抛物线过三点，已知对称轴和两点，已知顶点和对称轴。又如，已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，方程f(x)-x=0的两根为，则可设或。 2．二次函数的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标___________________ （1）a0时，抛物线开口向上，函数在__________上单调递减，在________上单调递增， ________时，_________________. （2）a0时，抛物线开口向下，函数在上单调递增，在上单调递减，时， 3．二次函数与一元二次不等式的关系 （1）方程的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的的取值。 （2）一元二次不等式的解集为二次函数 的的取值范围。 二次函数 △情况 一元二次方程 一元二次不等式解集 Y=ax2+bx+c (a0) △=b2-4ac ax2+bx+c=0 (a0) ax2+bx+c0 (a0) ax2+bx+c0 (a0) 图象与解 △0 △=0 △0 方程无解 R 5、二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在给定区间上的值域 若a0，1.当时. 2. 当时.. 3. 当时.在比较的大小时亦