几类不等式恒成立问题的解法.pdfVIP

中学数学杂志2008年第9期 霓凭援硒搠良t嬲弼。是锡焉嚣篇g．尧锣 几类不等式恒成立问题的解法 安徽省灵璧中学 234200 侯立刚 不等式恒成立问题可以综合地考查函数、导 所以一2≤髫≤0． I一2≤茗≤0} 数、不等式等高中数学的主干知识，历来是高考的焦 于是算的取值范围是{z 点、热点、难点，往往出现在压轴题中，很多学生望而 却步．本文对高考中的常见类型加以归纳，并指出 茗 +Z 解题方法． R)在区间[一l，1]上是增函数． 类型一 一次函数型 (1)求实数口的值组成的集合A； 火茗)=ax+b(a≠0)x∈[nt，rt] (Ⅱ)设关于鼻的方程以戈)=土的两个非零实 账咖。恒成立甘坎≥≥州≤。恒 根为戈。、z：．试问：是否存在实数m，使得不等式m2+ tm+1≥I E zl—z2I对任意nA及tE[一l，1]恒 成立甘躜：喜0 成立?若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理 由． 例l(2008安徽20)设函数八名)=导龙3一 毛2+(n+1)z+l，其中口为实数． 解(I)川加需 一二兰(墨!=堡苎=至2 一 ’ (I)已知函数厂(z)在算=l处取得极值，求口 (石2+2)2 的值； 因为八石)在[一1，1]上是增函数，所以 (Ⅱ)已知不等式，7x)戈2一舅一n+1对任 E[一l，1]恒成立，且口省2一n石一2≤ f’(石)≥0对z 意口∈(0，+∞)都成立，求实数膏的取值范围． o对茗E[一l，1]恒成立．① 解 (I)略 设^(茗)=戈2一n名一2 (Ⅱ)方法一 方法一： 由题设知：o戈2—3x+(n+1)z2一z一口+1 对任意Ⅱ∈(0，+∞)都成立 0{事一·≤口≤·， ①{争{：：?。亍兰-。a+-口2一≤2≤0 即a(x2+2)一工2—2x0对任：卷口∈(0，+∞) 因为对舅∈[一1，1]以茗)是连续函数，且只有 都成立 =0 设g(口)=a(x2+2)一菇2—2x(a∈R)，贝0对 任意菇∈R，g(Ⅱ)为单调递增函数(口∈R) 所以A={口l—l≤口≤l}． 所以对任意口∈(0，+∞)，g(n)0恒成立的 m fia0