一元二次三次方程的通解.pdfVIP

一元二次、三次方程的通解 徐厚骏 ㈠ 一元二次方程的通解 以下形式的一元二次方程我们很容易解 2 x-c=0 其解为x= ± c ， 2 现在要讨论标准型方程 ax+bx+c=0 可改写为 2 b c x + x+ = 0……………⑴ a a 如果x x 为方程的两个根，有根与系数的关系： 1 2 ， b c = −(x + x ); = xx 1 2 1 2 a a 我们对方程⑴进行变换，令 b x= y− …………………⑵ 2a 代入方程⑴，则有 b 2 b b c (y− ) + (y− )+ =0 ，整理后为 2a a 2a a 2 1 b 2 c y − ( ) + = 0 4 a a 改写为 2 2 b − 4ac y = 2 ……………⑶ 4a 显然，方程⑶的解为 -1- 2 b − 4ac y= ± 2 4a 再代入⑵式，得 2 −b± b − 4ac x= ………………⑷ 2a 这就是一元二次方程的通解公式。 ㈡ 一元三次方程的通解 一元三次方程式： 3 2 ………………⑸ x + ax + a x+ a =0 1 2 3 x x x 如果 ， ， 为方程的三个根，有根与系数的关系： 1 2 3 a=-(x+x+x) 1 1 2 3 a=xx+xx+xx 2 1 2 1 3 2 3 a=-xxx 3 1 2 3 也可以求其通解 1 令x= y− a 代入⑸，得 1 3 3 ……………⑹ y + py+q=0 1 2 1 2 3 其中：p= a − a ， q= a − aa + a ， 2 3 1 3 3 1 2 27 1 2 3 2 3 2 3 q q p 3 q q p 令 i = −1; A= − + + ; B= − −