弹性力学第8章 平面等参单元.pptVIP

第八章 平面等参单元 §8.1 等参单元的概念 §8.2 等参单元的收敛性研究 §8.3 等参变换的Jacobi矩阵 §8.4 等参单元的单刚和等效外载 §8.5 Wilson元 §8.6 三角形单元的等参变换 §8.7 高斯数值积分 §8.1 等参单元的概念 四节点平面等参单元 八节点等参元 §8.7 高斯积分 §8.5 Wilson元 §8.6 三角形单元的等参变换 2. 二维高斯积分 5/9 8/9 5/9 5/9 8/9 5/9 * * 矩形单元的缺点： 1）单元大小变化不够灵活； 2）不适应斜交边界； 一、等参单元的概念 x y h x 1 4 2 3 1）x y 平面 -1 , -1 h x 1 4 2 3 1 , -1 -1 , 1 1 , 1 2）?? 平面 任意四边形单元可克服上述缺点。 四边形单元 x y h x 1 4 2 3 1）x y 平面 -1 , -1 h x 1 4 2 3 1 , -1 -1 , 1 1 , 1 2）?? 平面 单元的几何形状变换形函数与位移插值的形函数相同——等参单元 -1 , -1 h x 1 4 2 3 1 , -1 -1 , 1 1 , 1 二、八节点平面等参单元 位移插值的形函数： 单元内的坐标： h x 1 4 2 3 5 8 6 7 1 4 2 3 5 8 6 7 x y 完备性 单元插值函数包含完全一次项则称单元是完备的。 2. 协调性 在单元的边界满足位移连续条件则称单元是协调的。 完备性是单元收敛的必要条件，能满足完备性和协调性的单元一定收敛。满足完备性但不满足协调性的单元若能通过小片检验也可以是收敛的。 §8-2 等参的单元收敛性研究 第一式已证明成立；对于等参变换，上后二式成立。 比较，由a0， a1， a2的任意性，有： 完备性 2. 协调性 单元的协调性是指位移在单元边界上能连续过渡。 四节点四边形单元和八节点等参单元都是协调的。 完备性和协调性是有限元法收敛性充分条件。 四节点四边形单元和八节点等参单元都是收敛的。 §8.3 等参变换的Jacobi矩阵 1 -1,-1 2 1,-1 3 2,1 4 -1,1 x y Jacobi矩阵： Jacobi行列式： 当 时，单元图形变换是一一对应的，只要 在单元内不变号，这个条件能满足。 一般而言，四边形单元的任一内角小于1800，三角形单元的内角小于1800，即单元是凸的， 就能满足。 y x 3 1 4 2 例：已知四节点坐标为1 -1, -1 , 2 1, -1 , 3 x0 , y0 , 4 -1, 1 , 求问x0 , y0取何值时, 在单元内要变号。 3 1 4 2 1 2 3 4 3 1 2 4 §8.4 等参单元的单刚和等效外载 一、等参单元的单刚 应变： 式中 应力： 式中 单刚: 其中每个子块： 注：上式积分一般不能直接积出，必须用近似方法求积。 二、等参单元的外载 xy平面上的等效节点载荷为： 等参元的边界既有直边边界，又有曲边边界，不易在曲边边界上直接积分。 例如，当载荷作用于? 1边上时，有： 则等效外载： 1.在xy平面上的L边界上作用分布载荷 、 k 1,2,…n 由于法向和切向载荷的方向随边界而变，需先将其x和y方向的面力： 2.在xy平面上的L边界上作用法向和切向载荷 、 x y j ? ? - dx ds dy ? 由于 则 如在边界x ?1上，dx 0； 如在边界h ?1上，dh 0 一、对矩形区域的积分 1. 一维高斯积分 若n 2，有四个参数：H1，x1， H2，x2，可设 由c0， c1， c2， c3的任意性，得 n 1： 2. 二维高斯积分 n 3： 积分精度： *