弹性力学第6章 杆系结构的有限元法.pptVIP

第六章 杆系结构的有限元法 §6.1 有限元法概述及虚功原理 §6.2 杆单元、平面桁架有限元法 §6.3 平面梁单元 §6.4 平面刚架有限元法 §6.5 空间问题概述 §6.1 有限元法概述及虚功原理 §6.2 杆单元、平面桁架有限元法 斜约束问题 §6.3 平面梁单元 §6.4 平面刚架有限元法 §6.5空间问题概述 空间桁架问题 习题 作业 1. 坐标变换矩阵 二、整体坐标系下的单元刚度矩阵 记： 即有： 则： 整体坐标系下的单元刚度矩阵： 即： 引入： 则 单刚可以具体写为： 三、有分布外载时的平面刚架 1. 整体坐标系下的等效节点外载 局部坐标系下，单元上作用分布外载： 由虚功原理，得等效节点外载 记局部坐标系下的等效节点外载为： 整体坐标系下的等效节点外载为： 由坐标变换，有： ? 三、平面刚架有限元算例 l P 1 2 3 l ① ② 例 如右图所示刚架，截面为矩形，b 0.5m, h 1m, l 5m, E 30GPa, P 104 kN, 节点位移u1 , v1 , ?1 。 解： 三、平面刚架有限元算例 l P 1 2 3 l ① ② 例 如右图所示刚架，截面为矩形，b 0.5m, h 1m, l 5m, E 30GPa, P 104 kN, 节点位移u1 , v1 , ?1 。 解： ? l l q qcos? qsin? ql/2 ql/2 ql2/12 ql2/12 L l/cos? ql/2 ql/2 ql/2 空间刚架问题 平面： 平面： 作业 如右图所示刚架，截面为矩形，b 0.5m, h 1m, l 5m, E 30GPa, P 800 kN, q 480 kN/m, 节点位移u1 , v1 , ?1 及梁中弯矩。 l P 1 2 3 ① ② q l/2 l/2 四、铰连接的梁单元 梁单元的广义节点位移为位移v和转角?。 刚性连接节点：位移v 和转角? 均连续； 铰连接节点：位移v连续，但转角? 不连续，在该节点没有一个唯一的? 作为未知量，需将其释放，用矩阵分块技巧处理。 1 2 3 ① ② q1 q2 设梁的j端为铰节点，?j不能作为未知量需将其释放。 由于j端为铰节点，Mj 0。引入： 1 2 3 ① ② q1 q2 其中： 具体写为： 释放?j后的单元平衡方程为： 对于i端为铰节点时，释放?i后的单元平衡方程为： 例 求右图所示梁节点2处的挠度v2 。 1 2 3 l l q 解：在广义节点位移中未知数只有v2 。 则有 得 1.图2.41所示桁架，两杆的E，A都一样。列出未知量 应满足的方程。 图2.41 图2.42 2. 图2.42所示三杆桁架，各杆都满足EA＝1，节点3的约束不沿x，y方向，而沿1-3方向。求： 3. 图2.43所示的梁在1-2段I1 2I，在2-3段I2 2I。求 图2.43 P l l 4. 对图2.44所示的连续梁，抗弯刚度为EI。求 除固定端弯矩最大外，求另一个弯矩最大点的位置x。 图2.44 5. 求图2.45所示梁的等效外载Fsyi， Msi， Fsyj，Msj 。 图2.45 图2.46 6.对图2.46所示的梁，分别对 两种情形，求出 等效外载 五、考虑剪切变形的梁单元 1. 剪切刚度矩阵 弯矩和剪切引起的位移分别用vb和vs 表示： 梁内剪应力与剪应变： 平均剪应力与和剪力的关系： 定义平均剪应变： K为考虑剪应力分布不均的修正系数：矩形截面K 1.2 ，圆形截面K 10/9 对于梁单元，若只在两端有剪力Yi ，Yj 作用时，则Q，ta ，ga沿轴向不变化，即 则vs的形函数与与杆单元的一样： 剪切变形刚度矩阵 平衡方程： 2. 剪力对刚度矩阵的修正 修正后的刚度矩阵 当h l 时，f — 0，剪切变形的影响可以忽略。 解得： 处理方法二：不必将方程降阶，把对应的对角线元素改为1，其余改为0，即得 处理方法三： 不必将方程降阶，把对应的对角线元素改为大数，其余不变，如上例中把u2， u3， v3对应的对角线元素改为1010。 1）处理方法一：可用于手工计算；编程计算稍麻烦，但可降低问题阶数。 2）处理方法二：由于方程不作降阶处理，编程方便，一般用于计算机程序计算。 3）处理方法三：编程很方便，但方程性态不好，对精度有影响。不推荐使用。 1 2 3 x ① ② P 1 1 y ③ 1 2 3 x ① ② P 1 1 y ③ ? 1 P 1 P 1 P 1 1 2 3 ③ ② ① EA 1 求：v1 、 u2 、 u3 、 v3 解： ①sin? s cos? c ② sin? 1 cos ? 0 ③ sin? 0 cos ? 1 ④sin? s cos? c 五、求