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中间值法比较形如和（）幂的不足及解决 樊仕松1 余振2 1巴东一中 2武汉市第十四中学 人教版高一教材在指数函数这一节内容中涉及有关指数幂大小的比较，这类问题归纳起来主要有三类： 同底数，不同指数的幂的比较。这类问题可以通过相应指数函数的单调性来比较； 如： 同指数，不同底数的幂的比较。这类问题可以通过相应指数函数底数的大小与图像与x轴或y轴的靠近程度来比较； 如： ③底数和指数都不同的指数幂的比较。 第三类问题稍显复杂，对于这类问题又可分为三类： Ⅰ 其中一个的底数小于1，而另一个大于1，这类通过图像很容易解决； 如：； Ⅱ 底数都小于1； Ⅲ 底数都大于1； 对于后两类一般的处理方式都是先引进中间值，将二者分别先于中间值比较，然后即可得出结论。如：和。结合指数函数的单调性和底数不同时函数图像与x轴的靠近程度可以取中间值。由于，可以得到 这类方法一般称之为中间值法。 然而在用中间值法比较形如和（）的一对指数幂时，往往会感到力不从心。见例1： 例1：试比较和的大小。 对该例若要通过中间值法解决，非常困难，因为难以找到合适的中间值。根据解题经验，中间值一般取或。但是中间值若取，则由于，即中间值比两个幂值都小，无法比较；同样若中间值取则中间值比两个幂值都大，仍然无法比较。 对于此类问题，笔者通过构造函数的方法，利用导数探究，对形如和（）这类幂的比较问题得出了一般性的结论。 定理：当时， 当时， 当时，. 证明：当时，则 下面探讨不等式以及不等式成立的条件： 构造函数，其导函数 ，这两个函数图像如下所示 令，得，令，得 即当时，函数是单调递增函数；当时，函数是单调递减函数。 由此可见，对于不等式不等式 （其中）其成立的条件是，从而易知当时 ，再根据式（*）和式（**），可得如下结论： 当时，；当时， 当时，对于和，这时可引入中间值，不妨引入，考虑函数（0a1）其为减函数，由于，故；再由指数函数的特性，可知，因此当时，。 实际上将条件换成仍然成立。 综合上述过程知道：当时，； 当时，； 当时，等号成立。 利用此结论，例1的结果显而易见：。 例2：试比较和以及和的大小. 解：∵e99100 ∴根据定理可得： 根据不等式的性质有 即. 故， 上述定理有很多的应用，这里就不在一一赘述。有兴趣的读者可以自己尝试。