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第一章 数学思想与教学的关系 ●数学素养与数学思想方法 《九年义务教育全日制中学数学教学大纲》指出：“使学生受到必要的 数学教育，具有一定的数学素养，对于提高全民族素质，为培养社会主义建 设人才奠定基础是十分必要的。”又指出：“初中数学的基础知识主要是初 中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反 映出来的数学思想和方法。”在对数学学科地位的阐述中使用“数学素养” 一词，并把数字思想和方法作为基础知识写进教学大纲，这是过去的大纲所 没有的，应该引起数学教育的足够重视。湖北枝江教研室许第二老师从以下 三方面进行了研究： 1.数学思想和方法包含于数学素养 数学素养是“人们在社会活动中，逐渐积累着对于数学关系和空间形式 的认识”，它包括知识技能素养、逻辑思维素养、运用数学素养、唯物辩证 素养等四个方面的素养。而所谓数学思想方法是指对数学知识和方法形成的 规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。因此，数学思想方法是数 学素养的重要组成部分。 （1）数学思想方法从属于知识技能素养。知识技能素养是指具有“当代 社会中每一个公民适应日常生活、参加生产和进一步学习所必需的代数、几 何的基础知识与基本技能”。而每一项代数、几何的基础知识与基本技能， 都是因为有了数学思想才形成的。例如人们利用符号化的思想，总结出一般 的公式和用字母表示的定律，进而发展到用符号表示集合、变换、几何图形、 命题等任意具有一定通性的量；利用转化的思想，总结出解多元方程的基本 方法，等等。 另一方面，每一项代数、几何的基础知识和基本技能中，几乎都隐含有 数学思想和方法。如用代数方法解方程中化未知为已知的思想，几何学科本 身就是数形结合思想的体现，以及几何中把复杂图形转变为平面内的基本图 形来研究的思想等。同时，数学思想方法又是连结基础知识和基本技能的纽 带。如函数的思想将代数中的大部分知识串联在一起，每一个含一个字母的 代数式都是这个字母的函数，代数式的值就是函数值，方程可看作是函数值 为零的特例，不等式可看作两个函数值的比较，等等。 （2）数学思想方法是逻辑思维素养的基础。逻辑思维素养是指“具有一 定的运算能力、运用数学进行逻辑思维的能力和空间想象能力。”运算能力 的较高层次是能够根据题目条件寻求合理、简捷的运算途径，要达到这一较 高层次，就必须具备“化归”这一导向型的数学思想，掌握“换元、配方、 待定系数”等技巧型的数学方法。思维是人们对客观事物本质和规律的概括 的反映，而实际对事物本质和规律的认识，从数学高度抽象的要求来看，对 直观图形要赋予代数意义，对具有一定通性的量要利用符号来表示；从思维 的过程来看，抽象概括是过程的核心；从思维的形式来看，它包括演绎推理、 归纳推理、类比推理等逻辑型的思维方法。 （3）数学思想方法是运用数学素养的基本要素。运用数学素养是指“能 把相关学科、生产和日常生活中的实际问题抽象成数学问题，运用数学知识、 技能去分析解决它们。”数学概念、公式、定理、法则等，都是从现实世界 中为解决各种实际问题而经过抽象概括得到的数学模型，因此，要运用所学 知识解决实际问题，一定要使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练， 使学生通过理解和掌握数学思想和方法，增强用数学的意识。 2.教材内容潜在的数学思想方法 （1）符号化与数式通性的思想。用字母表示数，并以数的运算性质为依 据来进行数、字母以及字母表达式的运算，这是代数的本质，它体现的是由 特殊到一般的抽象。新教材在小学“用字母表示数”的基础上，第一章就将 字母的含义扩充为“表示任意的数”和方程中的未知元；第三章开始渗透“把 一个多项式看成一个字母”，并用数的运算性质去探索式的同类运算的性质； 第七章是通过实例来理解字母的广泛含义，指出“可以向学生说明公式中的 字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数 式”；到了因式分解一章，例题分析采用设辅助元的方法，才明确指出“字 母不仅可以表示一个数，还可以表示一个式。”从教材体系看，到初二第一 学期，学生必须形成符号化和数式通性的思想。 （2）化归的思想。化归的实质是把新问题转化成已经解决的问题来解决， 把复杂问题转变为简单问题来解决，是处理数学问题时的一种基本思路。在 基本运算中，将减法化成加法，除法化成乘法；在方程中，化未知为已知、 化复杂为简单是解方程和方程组的基本思想，具体表现为把“多元”变成“一 元”，“高次”变为“低次