弹性杆问题中的Lyapunov和Euler稳定性.pdfVIP

·162· 数学·力学·物理学·高新技术硒窒登展——2006(II)卷 刘延拄1薛纭2盛立伟1 的相互关系．以受轴向力作用的圆截面螺旋杆和直杆为倒．证明了满足静志 Lyapunov稳定性和端部约束条件时，弹性杆所对应的轴南力为Euler载荷．并证明 秆在空间域内的Euler稳定性条件为时域内的动卷Lyapunov稳定性的必要条件。 Euler稳定性 【关键词】弹性细杆；Lyapunov稳定性i 0引言 1959年，G 本思想是将动力学中的时间变量f置换为一维空间变量的弧坐标$，按此原则，任何动力学研 究方法，包括Lyapunov关于运动稳定性的定义、定理和判据均可用于分析弹性杆的静力学问 题口】。根据Lyapunov稳定性概念判断，轴向受压直杆的平衡稳定，轴向受拉直杆的平衡不稳 定口】。此结论与材料力学中压杆失稳的结论相悖。原因在于Lyapunov稳定性与判断弹性秆屈 曲的Euler稳定性是两种完全不同的稳定性概念口卅。为进行动态稳定性分析，‘必须引入时间 变量t，讨论带有i，f双重自变量离散系统的稳定性p…。本文以受轴向力作用的螺旋杆和直 杆为例，分别在静力学和动力学范畴内讨论两种稳定性概念之间的差别与联系。 1 静态Lyapunov稳定性与Euler稳定性 讨论长度为L的圆截面弹性细杆，满足均匀．线弹性，不可伸长、尤芍田野切要彤、无 和一F0。以固定的端点，o为原点，沿杆中心线建立弧坐标J以确定任意P点的位置。将固定 标系，导出圆截面弹性杆的静力学平衡方程： ’国家自然科学基金蠢助项目(N． 作者简介t刘延柱(19，6一)，男，教授，研究方向为非线性动力学。刚体和多悻动力学等． ． ． 曼壁堑旦墼主箜坐型!竺皇!!!曼整塞壁 ：!箜： @ 4矿一(P’2cos,gsin,9]+C≯,’sm跏’+∥COS$一疋=o o 』(矿。sin,9+2P曾’cos,9)一C占IP’+缈’cosa)+五=0 业!芝!!!璺：o ，o d5 其中。一=E1，c=G矗为杆的抗弯和抗扭刚度：E，G为杆的杨氏模量和剪切模量；，，矗为截 面的惯性矩和极惯性矩；f静。1，2 坐标s的导数。方程。存在初积分 伊7+P7cos,9；他o ② ‘+ 方程组①存在以下特解 。 ◎ 、麓疋{／／r；=民gOo,艮2、墨=o，疋=民nis09,焉$O，只=焉Co。焉--；OJ)只0 COS}焉J 一 』 sin,90的螺旋线状态。设岛≠o，利用轴向力对P点的力 对应于倾角为口=昙一岛，半径为Rz ‘ 埘“ 矩与截面的弯矩和扭矩的平衡方程，导出