空一轮复习间向量及其运算和空间位置关系.docVIP

高中数学会考复习训练36空间向量及其运算和空间位置关系 一、空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量(平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合． 共面向量 平行于同一平面的向量． 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b存在λR，使a＝λb. 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 空间向量基本定理 (1)定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c．(2)推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1. 二、数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； (2)a⊥ba·b＝0(a，b为非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝. 2．向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 ab?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λR) 垂直 ab?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角公式 cos〈a，b〉＝ 三、平面的法向量 (1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量． (2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一的．的法向量[或，或]，在平面内任找两个不共线的向量。由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到。 [小题能否全取] 1．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是(　　) A．ac，bc　　B．ab，ac C．ac，ab D．以上都不对 2．(2012·济宁一模)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(　　) A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b} 3．(教材习题改编)下列命题： 若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0； 若＝x＋y，则M、P、A、B共面；若p＝x a＋y b，则p与a，b共面． 其中正确的个数为(　　) A．0　B．1C．2 D．3 4．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)． 5．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，(＋＋)2＝32；·(－)＝0；向量与向量的夹角是60°；正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是________． 空间向量的线性运算 [例1]　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中G为A1BD的重心，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，. 以题试法 1.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________． 例2、在棱长为2的正三棱锥中，底面边长为2，E,F为AB,B 的中点，试建立适当坐标系，并求出平面CEF，平面的法向量 考点三 利用空间向量证明平行或垂直 [例3]　(2012·湖南模拟)已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，边长为2a，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点． (1)求证：AF平面BCE； (2)求证：平面BCE平面CDE.以题试法 3．(2012·汕头模拟)如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝，M是线段B1D1的中点． (1)求证：BM平面D1AC； (2)求证：D1O平面AB1C.一、选择题 1．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(－2,1,1)，a，b夹角的余弦值为，则λ等于(　　) A．1　B．－1C．±1 D．2 ．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为(　　) A. B. C. D. 3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则·的值为(　　) A．a2 B.a2C.a2 D.a2 4．设y∈R，则点P(1，y,2)的集合为(　　) A．垂直于xOz平面的一条直线B．平行于xOz平面的一条直线 C．垂直于y轴的一个平面D．平行于