1.6函数连续性.pptVIP

函数与极限 §1.6 函 数 的 连 续 性 小结 1.熟练掌握y=f(x)在点连续必须满足的三个条件； 2.牢记：初等函数在其定义域内是连续的； 3. 正确判断分段函数在分段点上的连续性； 4. 求函数的间断点； 5. 理解连续函数满足的运算法则； 6. 理解闭区间上连续函数的最值定理； 7. 了解左右连续的定义； 8. 了解闭区间上连续函数的性质； 目录 引言： 客观世界的许多现象都是连续变化的，比如,时间的变化是连续的。所谓连续就是不间断，但是在数学上要用数学的语言来描述着这种现象。 1．理解函数在一点连续与间断的概念,掌握判断分段函数在一点连续的方法； 2．会求函数的间断点； 3．了解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连续性求极限。 学习目的与要求 一、连续函数的概念 极限形式 增量形式 1. 函数的改变量定义 例 设 f (x) =2x+1，分别求Δx和Δy.（1）x由2变到2.1,（2）x由2变到1.8, 解:（1）Δx=2.1-2 = 0.1 Δy=f (2.1) -f (2) =（2×2.1+1）-（2×2+1） =5.2-5 = 0.2 （2） Δx=1.8-2 = -0.2 Δy=f (1.8) －f (2) =（2×1.8+1）-（2×2+1） =4.6-5 = -0.4 2、函数 y = f(x)在点 x。连续的几何解释 显然△y 不趋于0 连续的几何解释:自变量的改变量△x→0时, 函数的改变量 △y→0 3. 函数在点 x0 连续增量形式的定义 此定义主要用于证明函数的连续性 利用此定义可证明:基本初等函数在定义域内的连续性。 4.推导连续的又一定义式： 定义 如果函数 y = f(x) 在点 x0的某一领域内有定义； 则函数 y = f(x) 在 点 x0 连续 . 此定义常用于判断分段函数分段点的的连续性 5. 函数连续极限形式的定义 二.初等函数的连续性 1.初等函数在其有定义的区间内连续. 注意1. 初等函数的连续区间为其定义域 2.初等函数连续性定理为我们提供了求极限的方法----代入法.即： 连续性给极限运算带来很大方便. 例 解 通常将函数的不连续点叫做函数的间断点. 定义域以外的点必不连续 例 解 2.初等函数的不连续点 1、在分段区间上定连续。 2、分段点连续性需利用定义去判断。 步骤： 1、求函数值f(x0)=? 2、求极限值 ？ 3、判断： ？ 三、分段函数的连续性 例 証 思考：分段点的极限需要分左右极限讨论吗？ 2、求极限值： 1、求函数值: 3、判断： 分段点两边函数表达式相同不需分左右极限 例 証 2、求极限值 1、求函数值 3、判断： 分段点两边函数表达式不同需分左右极限 解 例 注意写法哦！ 2、求极限值： 1、求函数值: 3、列方程： 相同不需分左右极限 练习 练习 解 f (0）=2 极限不存在。 2、求极限值： 1、求函数值: 不同需分左右极限 証 2、求极限值： 1、求函数值: 3、判断： 相同不需分左右极限 解 2、求极限值： 1、求函数值: 3、列方程： 不同需分左右极限 右连续但不左连续 , 例 解 f (0）=2 连续性判断的又一方法 四、 闭区间上连续函数的性质 1、(最值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值 和最小值. 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. 几何解释: 证 由零点定理, 例10 * *