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带钢出口断面形状的解析 吕程　王哲　刘岩松 　　摘要：利用三维刚塑性有限元法计算带钢的塑性变形，利用矩阵方法计算轧辊的弹性变形，通过两者间变形协调关系，求解出带钢出口断面形状，并能定量分析各种因素对带钢出口断面形状的影响。　　关键词：刚塑性有限元；矩阵方法；带钢断面形状；数值计算 Calculation the crown of strip LU Cheng1, WANG Zhe1, LIU Yan-song2 (1.State Key Lab.of Rolling and Automation, North eastern University, Shenyang 110006, China; 2.Benxi Iron Steel (Group) Co.) 　　Abstract: 3-D rigid-plastic FEM and matrix method are adopted to calculate plastic deformation of strip and elastic deformation of rolls respectively. The crown of strip can be calculated by coordination relation between strip and rolls, and the influence factors on strip crown can be analyzed quantitatively.　　Keywords: rigid-plastic FEM; matrix method; crown of strip; numerical calculation 1　前言　　随着汽车和家用电器工业的迅速发展，对板带材的质量，特别是断面形状的要求越来越高。为了生产出宽度方向厚度分布均匀的带钢，除了有先进的设备和控制手段外，还必须有高精度的断面形状预测模型。因此，研究能够高精度预测带钢断面形状的理论解析方法是十分必要的。　　为了准确地预测带钢断面形状，必须考虑轧辊和带钢的相互作用。本文利用三维刚塑性有限元方法计算带钢的塑性变形，利用矩阵方法计算轧辊的弹性变形，通过两者间变形协调关系，求解出带钢出口断面形状，取得了较好结果。 2　解析方法2.1　可压缩材料的刚塑性有限元　　刚塑性可压缩材料［1］，也称之为微可压缩材料。由于这种材料模型能够直接从应变速率中求出应力，所以近年来在刚塑性有限元求解各类轧制问题中得到了广泛的应用。　　变形体的总能量泛函如下： （1） 式中，V为变形体的体积；Sf为摩擦力作用面；St为前后张力作用面，前张力取负号，后张力取正号；m为速度敏感指数；为变形抗力；为等效应变速率；τf为摩擦应力；Δvf为摩擦力作用面上的相对速度；T为前后张力；vi为变形区前后端部的节点速度。　　边界条件如下：　　入口：vx=常数，vy=0,vz=0;　　出口：vx=常数，vy=0,vz=0;　　与轧辊接触面：v.n=0　　其中,x为轧制方向，y为宽度方向；z为厚度方向；n为接触面法向向量．　　根据刚塑性可压缩材料的变分原理可知，在一切运动许可速度场中，使式（1）的能量泛函φ取最小值的速度场为问题的真实解。令式（1）的一阶变分为零，得到各节点速度，进而求出单元的应变速率。根据下式表示的刚塑性可压缩材料的应力-应变速率关系，求出应力场。 （2） 式中，σij为应力张量；ij为应变速率张量；δij为克罗内克尔记号；v为体积应变速率；g为可压缩参数，这里取g=0.01。2.2　求解轧辊弹性变形的矩阵方法［2］　　（1）工作辊弹性弯曲方程 Yw=Gw(Q-P)-GfFw （3） 　　（2）支撑辊弹性弯曲方程 Yb=GbQ （4） 　　（3）辊间压扁方程 Ywb=GwbQ （5） 　　（4）力平衡方程 PTI+Fw=QTI （6） 　　（5）工作辊和支撑辊之间的变形协调关系方程 Ywb=ywb0I+Yb-Yw-Mb-Mw （7） 式中，Yw为工作辊挠度向量；Yb为支撑辊挠度向量；Ywb为辊间压扁向量；ywb0为辊面中心处的压扁量；P为轧制力向量；Q为辊间压力向量；Fw为工作辊弯辊力；Gw为工作辊弯曲影响函数矩阵；Gf为弯辊力影响函数向量；Gb为支撑辊弯曲影响函数矩阵；Gwb为辊间压扁影响函数矩阵；Mb为支撑辊凸度向量；Mw为工作辊凸度向量；I为单位列向量。　　在已知带钢对工作辊的轧制力P的条件下，式（3）～式（7）中未知数包括Q和ywb0,共有n+1个未知数（n为支撑辊的划分单元数）。将式（3）～式（5）代入式（7），与式（6）联立求解，共n+1个方程，通过解线性方程组求出Q和ywb0。　　工作辊的弹性变形包括弹性弯曲和弹性压扁两部分。