精算实务第二章.pptVIP

例：以λ为参数指数分布函数为 矩母函数？ 2、如果某连续型随机变量的密度函数f（x）满足： 则称该随机变量服从混合指数分布。混合指数分布也常用来描述赔款分布。试计算混合指数分布的矩母函数。 3、已发生的1500次赔款表明其平均赔款额为960元，标准差为120元。若赔款额服从正态分布，试计算 的值，使1500次赔款中有800次的赔款额小于它，而有700次的赔款额大于它，并计算1500次赔款中赔款额小于800元的次数。 例2.3.1 设赔款次数N服从负二项分布，参数 , VarN = 24, 第i笔赔款的赔款额 的分布列为 ， i = 1、2、…， 互相独立且同分布，试求赔款总量S的数学期望和方差。 解：由 得，k = 4。 故 又可以算得EX = 3.4， VarX = 0.44 , 所以ES = (EN) (EX) = 8×3.4 = 27.2 VarS = 280.96. 如果已知N和 的矩母函数分别为 和 , 那么，S的矩母函数为： 例2.3.2 设N服从几何分布，各次赔款额 服从参数为 =1的指数分布，试求S的矩母函数 解：指数分布的矩母函数为 , 再由N服从几何分布 ，可得 这是常数0的矩母函数1和以p为参数的指数分布的矩母函数 的加权平均，权分别为p和1－p.与此相应，S的分布函数也是这两个分布函数的加权平均： 这种分布为混合型分布。 在一般分布的假设下，我们可用卷积表示赔款总量S的分布。 相应地，S的密度函数为： 2.3.2 复合泊松分布 在上述赔款总量模型中，如果N服从泊松分布，我们就称赔款总量S服从复合泊松分布。 定义2.3.1 随机变量 服从以 为参数的复合泊松分布是指它满足： （1）随机变量 相互独立； （2） 具有相同的分布； （3）N服从泊松分布，参数为 若记具有相同分布的 为X，它们的共同分布函数为F（x）,则复合泊松分布随机变量S的数学期望和方差为： ， 其矩母函数为： 分布函数和密度函数分别为： 2.3.3 赔款总量的近似模型 在非寿险精算实务中，常用近似模型计算赔款总量的分布。一般常用两种近似模型：在赔款总量分布呈对称状时，用正态近似；在赔款总量分布右偏时，则用平移伽玛近似。 1.?? 正态近似 我们不加证明的介绍下列两个结论： 在S为复合泊松分布的场合，沿用上面的记号，则当 时， 的分布趋于标准正态分布。 在S为复合负二项分布的场合，N服从以k、p为参数的负二项分布，则当 时， 的分布趋于标准正态分布。 2.平移伽玛近似 事实上，赔款总量S的分布常为右偏态，因此在大多数场合用平移伽玛近似比正态近似更为恰当。 我们用 表示以 为参数的伽玛分布函数，对任意一点 ，定义一个新的分布函数 ,并称之为平移伽玛分布，相当于把伽玛分布平移了 个单位。 平移伽玛分布的三个参数可以通过令它的一阶矩、二阶和三阶中心矩分别与S的一阶矩、二阶和三阶中心矩相等的方程组得到，即 得 特别，当S为复合泊松分布时， 如果当 时， ，则平移伽玛分布 趋于正态分布 。 练习题 1.解：由题可得，索赔额X的密度函数为 所以索赔额Y＝1.1X的密度函数为 1、某类保单在某年的一次赔款额X服从以α，β为参数的伽玛分布，考虑通货膨胀的影响，估计下一个年度的一次赔款额Y将比X增加10%，试求Y的分布。 2.解：当 时 * 第二章 损失分布 损失和赔款 损失指的是保险标的在保险事故中遭到的实际损失额。常用一个随机变量来描述。 保险公司的赔款额是由保险标的的实际损失所决定的，但又并不总等于保险标的的损失额