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第2章 工程设计方法 自动控制系统的设计是以系统分析方法即控制系统稳定性理论为基础的。 整个设计过程既包括根据要求进行综合的过程，也包括根据理论分析对设计进行验证的过程，还包括根据设计任务书要求对系统的评价过程。常用的系统分析方法包括时域分析和频域分析方法。 稳定性判据——赫尔维茨判据 判据之一：赫尔维茨（Hurwitz)稳定判据 举例： 系统的特征方程为： 稳定性判据 判据之二：林纳德－奇帕特（Lienard-Chipard)判据 举例： 单位负反馈系统的开环传递函数为： 稳定性判据——劳斯判据 判据之三：劳斯(Routh)判据 关于劳斯判据的几点说明 如果第一列中出现一个小于零的值，系统就不稳定； 如果第一列中有等于零的值，说明系统处于临界稳定状态； 第一列中数据符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目，即系统中不稳定根的个数。 例1 设系统特征方程如下： 劳斯表判据的特殊情况 在劳斯表的某一行中，第一列项为零。 在劳斯表的某一行中，所有元素均为零。 在这两种情况下，都要进行一些数学处理，原则是不影响劳斯判据的结果。 例2 例3 * * 控制系统的分析方法 2.1 2.1.1 控制系统的时域分析方法 劳斯判据 赫尔维茨判据 系统稳定的充分必要条件是：特征方程的赫尔维茨行列式Dk（k＝1,2,3,…，n）全部为正。 赫尔维茨判据 系统特征方程的一般形式为： 各阶赫尔维茨行列式为： （一般规定 ） 试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。 解： 第一步：由特征方程得到各项系数 ２ １ ３ ５ 第二步：计算各阶赫尔维茨行列式 结论： １０ 系统不稳定 系统稳定的充分必要条件为： １．系统特征方程的各项系数大于零，即 ２．奇数阶或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零。即 或 必要条件 试求开环增益Ｋ的稳定域。 解： 第一步：求系统的闭环特征方程 第二步：列出特征方程的各项系数。 第三步：系统稳定的充分必要条件。 解得：Ｋ＜１４ 开环增益Ｋ的稳定域为： 由此例可见，K越大，系统的稳定性越差。上述判据不仅可以判断系统的稳定性，而且还可根据稳定性的要求确定系统参数的允许范围（即稳定域）。 系统稳定的充分必要条件是：劳斯表中第一列所有元素的计算值均大于零。 若系统的特征方程为： 则劳思表中各项系数如下图： 试用劳斯判据判断该系统的稳定性，并确定正实部根的数目。 解： 将特征方程系数列成劳斯表 结论：系统不稳定；系统特征方程有两个正实部的根。 设系统的特征方程为： 试用劳斯判据确定正实部根的个数。 解： 将特征方程系数列成劳斯表 由表可见，第二行中的第一列项为零，所以第三行的第一列项出现无穷大。为避免这种情况，可用因子(s+a)乘以原特征式，其中a可为任意正数，这里取a=1。 于是得到新的特征方程为： 将特征方程系数列成劳斯表： 结论：第一列有两次符号变化，故方程有两个正实部根。 设系统的特征方程为： 试用劳思判据确定正实部根的个数。 解： 将特征方程系数列成劳斯表 劳思表中出现全零行，表明特征方程中存在一些大小相等，但位置相反的根。这时，可用全零行上一行的系数构造一个辅助方程，对其求导，用所得方程的系数代替全零行，继续下去直到得到全部劳思表。 用 行的系数构造系列辅助方程 求导得： 用上述方程的系数代替原表中全零行，然后按正常规则计算下去，得到 表中的第一列各系数中，只有符号的变化，所以该特征方程只有一个正实部根。求解辅助方程，可知产生全零行的根为 。再可求出特征方程的其它两个根为 。 控制系统的频域分析方法-Nyquist 2.1.2 2.1.2.1 2.1.2.2 2.1.2.3 开环传递函数含有γ个积分环节具体画法： 可先画出ω从0+→∞的G(s)H(s)的曲线，然后画出ω从0→0+的补充圆弧。圆弧画法为：从ω=0+的对应点开始，逆时针方向补画一个半径为无穷大，圆心角为900γ的大圆弧，则可连续变化的轨迹。然后上下对称画出另一半。 Nyquist稳定判据二: 当系统的开环传递函数中有位于原点及虚轴上的极点时,系统G(jω)H(jω)的Nyquist曲线在ω从-∞→+∞变化时逆时针包围(-1,j0)点的次数R等于S右半平面开环极点数P,则闭环系统稳定,否则不稳定。 Nyquist稳定判据 第一种情况： G(s)H(s)在s平面的原点及虚轴上没有极点时： 令P：S右半平面的开环极点数； Z：S右半平面的闭环极点数； R：乃氏曲线包围(-1,j0)点的圈数。 Nyquist稳定判据为: 反馈控制系统稳定的充要条件是：当ω由-∞→0→+∞变化过程中，Nyquist图线逆时针包围临界稳定点(-1,j0)的圈数为R，当它等于该系统开环传函