帮你远离一元二次方程习题中的“陷阱”.doc

帮你远离一元二次方程习题中的“陷阱” 上海市桃李园实验学校 戚元彬 许多一元二次方程习题常常把很容易忽视的条件放进题中，设计了一些“陷阱”.如果同学们对知识理解不透彻或分析问题不全面,就极易误入“陷阱”，导致错解.为帮助同学们远离这些“陷阱”，下面笔者就对它们逐一进行分析. 一.二次项系数“陷阱” 例1.当为何值时,关于的一元二次方程有两个实数根. 错解: 分析:错误原因是忽视了一元二次方程的二次项系数这一隐含条件.实际上一元二次方程有两个实数根的条件应是.故本题的结论应是:当时,方程有两个实数根. 小结：如果题设中所给的一元二次方程的二次项系数中含有字母,那么这个题目就已经设计了有关二次项系数的“陷阱”，此时务必要考虑“二次项系数不为零”这一隐含条件. 二.根的判别式“陷阱” 例2.已知是一元二次方程的两个实数根，且满足不等式，求实数的取值范围. 错解: ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 分析:错误原因是忽视了判别式这一隐含条件.实际上一元二次方程有两个实数根,则必然有这一条件.根据此方程有两个实数根,可先列出不等式,解出.故本题的结论是:. 小结： 如果题目中已直接或间接给出了一元二次方程有两实根，那么这个题目就已经设计了有关判别式的“陷阱”，此时一定要考虑的隐含条件. 三.二次根式“陷阱” 例3.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,求的取值范围. 错解: ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根, ∴ ∴ 分析:错误的原因是忽视了二次根式的被开方数这一隐含条件.本题必须同时考虑这三个条件,才能正确求解.正确结论是:. 小结：如果题设中存在被开方数是有关字母的二次根式,那么这个题目很有可能设计了有关二次根式的“陷阱”，此时有必要考虑被开方数大于或等于零这一隐含条件. 四.关键字“陷阱” 例4.关于的方程有实数根,则的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D) 错解: ∵关于的方程有实数根, ∴, 即, ∴. 选(B). 分析:此方程形式上是一个一元二次方程,但从题设中的关键文字“方程”、“有实数根”来看，该方程不仅可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程.本题需要这样讨论:若时,则该方程是一元一次方程,它有实根;若时,则该方程是一元二次方程,当时,它有两个实数根.这两种情况都满足题设条件,所以的取值应是(不必要求,因为时方程也有实数根).故选(C). 例5.关于的方程有两个实数根,则的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D) 错解: 当时,原方程有实数根; 当时,关于的方程有两个实数根, ∴, 即, ∴. 这两种情况都满足题设条件,所以的取值范围应是.故选(C). 分析:分析题设中的关键词“方程”,该方程可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程;但是由后面的关键词语“有两个实数根”可知，该方程不可能是一元一次方程，所以只考虑它是关于一元二次方程.故正确答案是(B). 小结:在解有关一元二次方程的习题时，应特别注意 “方程”、“有实数根”、“有两个实数根”等关键文字，注意思考它们的隐含条件，以免陷入关键字“陷阱”. 说明:本文发表于2006年4月25日的《上海中学生报》上 。 3