巧用三角代换求无理函数的最值.doc

巧用三角代换求无理函数的最值 上海市第五十四中学（邮编200030）裴华明 求无理函数的最值问题，是中学数学中常见的问题之一，若用常规方法求解，对于有些题目来说就显得较为繁杂，计算量也较大，但若根据问题的特点巧妙的用三角代换来求解，则可把求无理函数的最值问题转化为求三角函数的最值问题，使问题得已简化，达到事半功倍的效果。下面就介绍几类可用三角代换法来求无理函数最值的题型，仅供参考。 当函数的定义域为时，可设， 求函数的最大值和最小值。 解：∵函数的定义域为，∴可设， 则原函数可化为 又 ∵ 则 ∴ 即 故 当或时， 当时， 求函数的最值。 解：∵函数的定义域为，∴设， 则原函数可化为 ∵ 则 ∴ 即 故 当 即 时， 当 即 时， 当函数的定义域为时，则可设， 求函数的最大值和最小值。 解：∵函数的定义域为，∴可设， 则原函数可化为 ∵ 则 ∴ 即 故 当 即时， 当 即时， 当函数的定义域为，可设， 或者设， 求函数的最值。 解：∵函数的定义域为， ∴可设， 则原函数可化为 ∵ 则 ∴ 即 故 当 即 时， 当即时， 求函数的最大值或最小值。 解：∵函数的定义域为 ∴可设， 则原函数可化为 ∵ 则 ∴，即 故 当 即 时， 当 即 时， 当函数的定义域为时，可设， 求函数的最小值。 解：∵函数的定义域为，∴可设， 则原函数可化为 故 当时， 当函数的定义域为时，可设， 求函数的最大值。 解：∵函数的定义域为， ∴可设， 则原函数可化为 当时， ∵ ∴ 当时， ∵ ∴ 故 综合上述，原函数的最大值为。 当函数的定义域为时，可设 , 求函数的最大值。 解：∵函数的定义域为， ∴设， 则原函数可化为 当时， 即 时，原函数有最大值。 当时， 即 时，原函数有最大值。 故 综上所述原函数的最大值为。 当函数的定义域为时，可设，。 求函数的最大值。 解：∵函数的定义域为，∴可设， 则原函数可化为 故 当时，原函数取得最大值为。 求函数的最值。 解：∵函数的定义域为，∴可设， 则原函数可化为 ∵ ∴ 原函数的最大值为，最小值为。 4