实验八求解微分方程.pptVIP

Matlab 解初值问题 dsolve 求解析解 dsolve 的使用 dsolve 举例 dsolve 举例 dsolve 举例 Matlab函数数值求解 Matlab提供的ODE求解器 参数说明 数值求解举例 数值求解举例 数学实验 实验八 求微分方程的解 用 Maltab自带函数 解初值问题 求解析解：dsolve 求数值解：  ode45、ode23、 ode113、ode23t、ode15s、 ode23s、ode23tb dsolve 的使用 y=dsolve(eq1,eq2, ... ,cond1,cond2, ... ,v) 其中 y 为输出， eq1、eq2、...为微分方程，cond1、cond2、...为初值条件，v 为自变量。 y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x^2),x) syms x; diff(y)+2*x*y - x*exp(-x^2) 几点说明 如果省略初值条件，则表示求通解； 如果省略自变量，则默认自变量为 t dsolve(Dy=2*x,x); ％ dy/dx = 2x dsolve(Dy=2*x); ％ dy/dt = 2x 若找不到解析解，则返回其积分形式。 微分方程中用 D 表示对 自变量 的导数，如： Dy y； D2y y； D3y y y=dsolve(x*Dy+y-exp(x)=0,y(1)=2*exp(1),x) ezplot(y); [x,y]=dsolve(Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=0, ... x(0)=1, y(0)=0, t) ezplot(x,y,[0,1.3]); 注：解微分方程组时，如果所给的输出个数与方程个数相同，则方程组的解按词典顺序输出；如果只给一个输出，则输出的是一个包含解的结构（structure）类型的数据。 例： [x,y]=dsolve(Dx+5*x=0,Dy-3*y=0, ... x(0)=1, y(0)=1,t) r = dsolve(Dx+5*x=0,Dy-3*y=0, ... x(0)=1, y(0)=1,t) 这里返回的 r 是一个 结构类型 的数据 r.x %查看解函数 x(t) r.y %查看解函数 y(t) 只有很少一部分微分方程（组）能求出解析解。大部分微分方程（组）只能利用数值方法求数值解。 dsolve的输出个数只能为一个 或 与方程个数相等。 [T,Y] = solver(odefun,tspan,y0) 其中 y0 为初值条件，tspan为求解区间；Matlab在数值求解时自动对求解区间进行分割，T (向量) 中返回的是分割点的值(自变量)，Y (向量) 中返回的是解函数在这些分割点上的函数值。 solver 为Matlab的ODE求解器（可以是 ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb） 没有一种算法可以有效地解决所有的 ODE 问题，因此MATLAB 提供了多种ODE求解器，对于不同的ODE，可以调用不同的求解器。 使用于精度较低的情形 单步法；2，3 阶 R-K 方法；累计截断误差为 (△x)3 非刚性 ode23 计算时间比 ode45 短 多步法；Adams算法；高低精度均可到 10-3～10-6 非刚性 ode113 适度刚性情形 采用梯形算法 适度刚性 ode23t 若 ode45 失效时，可尝试使用 多步法；Gear’s 反向数值微分；精度中等 刚性 ode15s 当精度较低时，计算时间比 ode15s 短 单步法；2 阶Rosebrock 算法；低精度 刚性 ode23s 当精度较低时，计算时间比ode15s短 梯形算法；低精度 刚性 ode23tb 说明 特点 ODE类型 求解器 大部分场合的首选方法 单步法；4，5 阶 R-K 方法；累计截断误差为 (△x)3 非刚性 ode45 odefun 为显式常微分方程，可以用命令 inline 定义，或在函数文件中定义，然后通过函数句柄调用。 fun=inline(-2*y+2*x^2+2*x,x,y); [x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1); 注：也可以在 tspan 中指定对求解区间的分割，如： [x,y]=ode23(fun,[0:0.1:0.5],1); %此时 x=[0:0.1:0.5] [T,Y] = solver(odefun,tspan,y0) 如果需求解的问题是高阶常微分方程，则需将其化为一阶常微分方程组，此时需用函数文件来定义该常微分方