第一章数值分析的基本概念(删减版).pptVIP

数值分析 上课(2--17周) 每周三 8:15-9:45 第二教学楼121室 每个单周三 10:05-11:35 图文3号机房 (图文信息中心三楼319室) 放假和上课通知 1. 中秋节期间 2010年9月22日至24日放假，共3天。9月19日(星期日)上星期四（双周）的课程，9月25日(星期六)上星期五（双周）的课程。 2. 国庆节期间2010年10月1日至7日放假，共7天。9月26日(星期日)上星期三（双周）的课程，10月9日(星期六)上星期四（双周）的课程。 数值分析 数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。 -----zh.wikipedia.org 第一章 数值分析的基本概念 §1.1 数值算法的研究对象 §1.2 误差分析的概念 §1.3 数值算法设计的一些要点 现代复杂工程技术问题的解决步骤 例1. 1 (易计算问题) (1) 求解线性方程组AX=b, 其中A为3阶可逆方阵，X=(x1, x2, x3)T; (2) 求代数方程x2+x?6=0在[0,4]上的根x*； (3) 已知y=P(x)为[x0, x1]上的直线，满足P(x0)=y0, P(x1)=y1, x2?(x0, x1), 求P(x2)； (4) 计算定积分 (1ab)； (5) 解常微分方程初值问题 解： (1) Cramer法则 , 其中D=|A|, Dj为由b置换D的第j列所得。 (2)根据求根公式得x*=2; (3) P(x2)= ; (4) 根据积分公式得到 ; (5) 根据常微分方程求解公式得 例1.2 (难计算问题) (1) 求解线性方程组AX=B, 其中A为30阶可逆方阵，X=(x1, x2,?, x30)T; (2) 求超越方程xex =1在[0,1]上的根x*； (3) 已知y=f(x)为[x0, x1]上的函数，满足f(x0)=y0, f(x1)=y1, x2?(x0, x1), 求f(x2)； (4) 计算定积分 (1ab)； (5) 解常微分方程初值问题 解：例1.2同例1.1“差不多” ？ (1) 计算量非常大； (2) 无法求得x*的解析形式，只能求近似值； (3) f(x2)? 试试； (4) 无法找到原函数，考虑近似方法； (5) 没有解析解，数值解法求取近似解。 利用计算机！但是……. 计算机的认识能力是有限的 计算机的计算能力也是有限的 可行且高效的算法+计算机！！！ 2 数值算法的特点： 计算机算法 对于给定的问题和设备（计算机），一个算法是用该设备可理解的语言表示的，对解决这个问题的一种方法的精确刻画。 计算机算法主要包含数值算法、非数值算法和软计算方法三类。 三类计算机算法 数值算法主要指与连续数学模型有关的算法，如数值线性代数、方程求解、数值逼近、数值微积分、微分方程数值解和最优化计算方法等；(本课程内容) 非数值算法主要指与离散数学模型有关的算法，如排序、有哪些信誉好的足球投注网站、分类、图论算法等； 软计算方法是近来发展的不确定性算法的总称，包括神经网络计算、模糊逻辑、遗传算法、蚂蚁算法等。 数值算法的特点 有穷性 数值性 近似性 数值计算软件 Fortran C++ Matlab §1.2 误差分析的概念 误差限和有效数字 截断误差与收敛性 舍入误差和数值稳定性 数据误差和病态问题 1. 误差限和有效数字 误差和相对误差(定义1.1) 设x*是某量的准确值，x是x*的近似值 称?x = x*-x 为x的误差或绝对误差。 | x*-x |??, 称?为x的(绝对)误差限或精度， ?rx = (x*-x)/x*称为x的相对误差 |(x*- x)/ x *|?? r, 称? r为x的相对误差限。 当? r 很小时，? r?? /| x |。 误差的四则运算见后 准确位数和有效数字(定义1.2) 设x =?0.a1 a 2?an ?10m (m为整数) (1.1) 其中a 1~an为0~9中一个数字且a 1?0。 如果 | x*-x|?0.5?10?k (1.2) 即x的误差不超过10-k位的半个单位 则称近似数x准确到第k位小数，并说x有m+k位有效数字。 例1.3 (误差限和有效数字) 圆周率? =3.