线积分与路径无关性.pdfVIP

12.5 平面曲线积分与路径无关的条件、原函数和全微分方程 12.5.1 平面曲线积分与路径无关的条件 我们已经知道第二型曲线积分 ∫C A(P ) ⋅dl ∫C X (x, y )dx =+Y (x, y )dy (5.1) 的值.一般不仅与向量函数A(P ) (X (x, y ),Y (x, y )) 及曲线 C 的起终点 A 、B 有关，也 与由 A 到 B 的路径C 有关。例如，曲线积分 ∫C xydx +(y −x )dy 1 2 （1） 沿直线y x 由A(0,0) 到B (1,1) 积分值为 ；（2 ）沿抛物线y x 由A(0,0) 到 3 1 3 1 B (1,1) 积分值为 ；（3 ）沿立方抛物线y x 由A(0,0) 到B (1,1) 积分值为− 。 12 20 另一方面，也有的第二型曲线积分仅与路径 C 的起终点A 、B 有关，与路径 C 的几 何形状无关（简称与路径无关）。例如曲线积分 2 ∫C 2xydx +x dy 取上述（1）~ （3 ）的路径分别进行积分，其积分值均为 1 。那么在什么样的条件 下，第二型平面曲线积分(5.1)只与积分曲线的起、终点有关，而与积分曲线的路径 无关。下面我们讨论这一问题。 ∂X ∂Y 定理 5.1 若函数X (x, y ) 、Y ( x, y) 以及偏导数 、 在单连通区域 D 连续,则下 ∂y ∂x 列命题等价: (1) 曲线积分（5.1 ）与积分曲线的路径无关,即其只与积分曲线的起、终点有关; (2) Xdx +Ydy 是某一函数u(x, y) 的全微分，即在D 存在一个函数u(x, y) ，使 du Xdx =+Ydy ∂X ∂Y （3 ） ，∀(x , y ) ∈D ； ∂y ∂x （4 ）对于D 内的任意光滑或逐段光滑的简单闭曲线Γ，有 ∫ΓXdx +Ydy 0 证 （1）⇒ （2 ） 取A(x , y ) ∈D ，将其暂时固定，B (x , y ) ∈D 为 D 内动点， 0 0 此时线积分（5.1 ）的值与积分路径无关,它的值将随上限B (x , y ) 的确定而惟一确定.因而可 (x ,y ) 把积分（5.1 ）作变上限积分 ∫C Xdx +Ydy ∫( x , y ) Xdx =+Ydy 0 0