“不得不说”的函数性质——例说利用函数的渐近线处理一类分式函数问题.pdfVIP

学 新颖试题 谋 不得不说”的函数性质 — — 例说利用函数 的渐近线处理一类分式函数 问题 ⑩江苏省旬容市第三 中学 刘洪志 高中阶段如果谈到函数的性质，大家能想到的是函 间为(一∞，0)和 (2，+∞)． 数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性 、极值、最值 并且不假思索地将0和2代入函数得至 0)：0 2)= 甚至可以有函数的凹凸性等 ，很少有人会意识到还有函 4 ，所以值域为Lfo，-)J1． 数的渐近线．那么在高中阶段要不要研究渐近线?研究 这个题 目的结果虽然正确，其实是有一定的问题 的意义是什么?需要研究到什么程度? 的，实际上也可以按如下方式来解决． 函数的渐近线在江苏省普通高中数学课程标准教 学要求上只字未提，但是作为函数的一种重要性质，早 。)：。2)=詈，当∞时) 1--1：1· 期在研究反比例函数y=_竺_(≠0)和勾函数y+÷(a 当 ∈(一∞，0]时 )为减函数 )∈[0，1)； 0)时都涉及了渐近线对函数的影响，而且导数下放到中 学数学之后，渐近线又能体现出有限到无限逼近的这种 当∈[0，+∞)时 )∈0【，詈]，所以函数厂()的值 数学思想，特别是为了深度研究函数的一些性质，我们 需要结合渐近线作出一些函数比较精确的图像，因此了 域为10，亏J· 解一个函数是否有渐近线、它的方程如何就显得尤为重 或者当=。时√。)=。，当≠。时√) -_1 要．本文重点阐述分式型函数的水平渐近线的简单确定 方法 ，渐近线对函数的单调性、值域的影响，以及这种问 题的求解方式． =__{ ≤了4，)。2)：号，所以函 我们从一个具体的例子开始． l一 j+ 例1 (2012年镇江高三上学期期末考试第20题)已 知函数 )：丢 ，对一切正整数n，数列{％l定义如 的值域为0【，号]． 那为什么直接 下：=1 且 ％)，前，灏 和为s 代入极值点也能解 ， (1)求函数 )的单调区间，并求值域． 出正确结果呢?这是 (2)证明 ) l= l ))=}． (3)对一切正整数n，证明：① - ；②S 1． 分析：第 (1)问比较常规，绝大多数同学都能选择利 用导数解题． Z - - x- 1) x2+2x (x x+l)-了x~(2 由已知 ，()：—2x— — — 一 = · 三二 若 ()0j0 2， ()0j O或x2· 所以函数 )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区 教学 参谋 新颖试题 2014年 8月 y=1就是函数 )的一条水平渐近线．