内积与线性变换初探.pdfVIP

2006 年年9 月月 伊犁师范学院学报伊犁师范学院学报 Sept.2006 年年 月月 伊犁师范学院学报伊犁师范学院学报 第第3 期期 Journal of ILi Normal University No.3 第第 期期 内积与线性变换初探 陈展衡 伊犁师范学院 数学系 新疆 伊宁 835000 摘 要 内积与线性变换是高等代数的两个重要内容.探讨内积与线性变换有助于深入理解 二者之间的关系 促进知识体系的系统化 网络化.初步探讨了内积关系与线性变换 即当欧氏 空间V 的变换满足一定的内积关系时 它便是V 的线性变换 并将线性变换作了进一步推广 推 广至n维欧氏空间及酉空间. 关键词 欧氏空间 内积 线性变换 中图分类号 O15 文献标识码 A 文章编号 1009 1076 2006 03 0016 03 定理1 设 为欧氏空间V 的一个变换 f R R 为实多项式 如果 α V Τ χ ∈ χ χ ∀ β ∈ 都有 α = α f 则 为欧氏空间V 的线性变换. Τ β Τ β Τ 证明 因为 α γ V a b R 有 ∀ β ∈ ∀ ∈ Τ aα + b β γ = aα + b β f Τ γ = a α f Τ γ + b β f Τ γ = aΤ α + b Τ β γ 所以T 为欧氏空间V 的线性变换. 证毕 若f χ =c1 +c2 χ ∈R χ , c1 ,c2 ∈R 时 Τ α β = α f Τ β = α c1 +c2 Τ β = α c1 β +c2 Τ β =c1 α β +c2 α Τ β 即 Τ α β =c1 α β +c2 α Τ β . 由此得出 推论1 设 为欧氏空间V 的一个变换 如果 α V 有 α = α + α Τ ∀ β ∈ Τ β c1 β c2 其中 R 则 为欧氏空间V 的线性变换. Τ β c1 c2 ∈ Τ 若f χ = χ ∈R χ 时 Τ α β = α f Τ β = α Τ β 即 Τ α β = α Τ β . 由此得出 推论2 设 为欧氏空间V 的一个变换 如果 α V 满足 α = α Τ ∀ β ∈ Τ β Τ β 那么 是欧氏空间V 的对称变换.