混沌吸引子的维数研究.pdfVIP

维普资讯 第 24卷第 4期 探 测 与 控 制 学 报 Vo1．24．NO．4 2002年 l2月 JournalofDetection Control DeC．2002 混沌吸引子的维数研究 李亚安 张效民 徐德民 (西北工业大学航海工程学院，陕西 西安 710072) 摘 要 ：维数的分析与计算在混沌信号处理中有着重要的作用 而基于Hausdorff维数理论 的G—P算法在计算混沌吸引子 的关联维数时存在抗噪声干扰能力差、运算时间长等缺点。通 过对重构空间引入奇异谱分析，将状态矢量变换到一组正交的坐标系，进而计算其关联维数。 克服 了原算法 的不足，同时具有可靠性高，易于实现等优点 关键词 ：混沌；相空间重构；关联维数 中图分类号：0322TN911．23 文献标识码：A 文章编号：1008—1194(2002)04—0043—04 0 引言 混沌指发生在确定性系统 中类似随机的不规则运动。按照传统的观念 ，自然界存在两种不同类型的 动态系统 ，即确定性系统和随机系统 。对于确定性系统 ，由于描述它的运动方程是确定性微分方程 ，因此 它的行为是可以预测的；对于随机系统 ，虽然采用概率统计方法从理论上可 以对其运动行为进行预测 ， 但 由于系统参量数 目庞大，因此实际上很难准确对其进行测量。混沌理论指出了第三种情况，即由少数 变量控制的非线性系统也可以产生一类看似随机的输出。混沌系统对初始条件非常敏感 ，系统初态的任 何微小误差都将引起系统行为随时间呈指数规律发散 ，且最终会收敛于状态空间的一个有限区域 ，即收 敛于一个奇怪吸引子。由于混沌现象最主要的特征就是存在相空间中的奇怪 吸引子 ，而描述吸引子的基 本数学量就是它的维数 。另外，在进行相空间重构过程中，重构参数——延迟时间 r和嵌入维数m 的选 择对重构质量以及后续的分析都有直接影响。因此 ，维数计算在混沌分析中有着重要 的作用。 混沌吸引子的维数一方面反映了吸引子结构的复杂性 ，另一方面也反映了吸引子的信息量，因此维数的 分析和计算不仅对混沌信号的相空间重构有重要影响，而且也可以用它来刻划吸引子几何结构 的特征。 对 于混沌 吸 引子 ，常见 的维数主要有 ：Hausdorff维数、信 息维数 、Iyapunov维数 、关联维数等。 Hausdorff维数是这些众多维数定义的基础 ，它的物理概念明确 ，有严格的数学定义 。但是作为一种纯 粹 的数学定义，用它对实验数据进行处理 时存在很多 困难，因此实际很少应用。以Grassberger和 Procaccia[1提出的关联维数算法 (简称 G—P算法)由于特别适用于实验观测数据，且算法简洁易于实 现 ，因此获得 了广泛的应用。但是G—P算法也存在一些缺点 ，如要求数据量很大且数据不含有噪声。而 实验数据或多或少都含有噪声 ，因此利用G—P算法得到的关联维数存在较大的误差 。针对这些问题 目 前 已有多种改进算法的方案 ，文献r-2-1提 出了一种对数据量较小的实验数据计算它们的关联维数的方 法 。文献E3]采用噪声抵消方法减小噪声影响。这些方法从不 同的角度对 G—P算法进行了改进 ，并取得 了一定的效果。 对于嵌入维数 ，当吸引子的维数为m 时，选择重构空间的嵌入维数m2m ，便可将时间序列-’(”) 展开到原来系统的多维状态空间。在实际计算过程中，我们只需计算最小嵌入维数 。最小嵌入维数意 味着最小的计算量 ，同时也减小了计算误差和仪器测量误差带来的噪声干扰 。 本文以Takens的嵌入理论为基础 ，讨论 了混沌分析 中常用的几种维数的计算与应用，重点介绍 了 收稿 日