2010年安通学校GCT数学内部讲义14.docVIP

线性代数 第一讲　行列式 一. 行列式的定义 一阶行列式定义为 二阶行列式定义为 三阶行列式 在阶行列式中，划去元素所在的第行第列，剩余元素构成阶行列式，称为元素的余子式，记作． 令，称为的代数余子式． 阶行列式 有个元素,其展开式有项, 每项都是个不同行列的元素之积.其前置符号取决于该项个各元素行列标排列的逆序数之和． 二. 行列式的性质 1. 行列式中行列互换（转置），其值不变． 2. 行列式中如果某行（列）元素有公因子，可以将公因子提到行列式外． 3. 行列式中如果有一行（列）每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式的和． 4. 行列式中某行（列）元素的倍加到另一行（列），其值不变． 5 行列式中如果有一行（列）元素全为０，则行列式的值为０． 6. 行列式中如果有两行（列）元素对应相等，则行列式的值为０． 7. 将行列式中的两行（列）相互对换位置，行列式的值变号. 8. 对阶行列式　 等于它的任意一行的各元素与其对应代数余子式的乘积的和，即 　　　　　　 按列展开 　　　　　　 阶行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积的和等于零．即 　　　　　　　 　　　　　 三. 特殊行列式 上（下）三角行列式 对角行列式 ; 分块对角行列式 四.计算行列式 降阶法. (用行列式的性质4, 把某行（列）化为只有一个非零元素) 化为特殊行列式（上（下）三角行列式或和对角行列式）. 五．克拉默（Cramer） （1） 的系数行列式 ， 则方程组（1）有唯一解： ，其中是将系数行列式中第列的元素换成，而其余各列不变所得到的阶行列式． 对齐次线性方程组 (2) 的系数行列式, 则方程组(2)只有零解． 推论：齐次线性方程组(2)有非零解的充分必要条件是系数行列式． 典型习题 2．设，则=（ ） （1） 3．=（ ） （） 4．，则（ ）， （0） 5．，则（ ）( ) (或) 6．设，则=（ ） （30） 7．设则 (8M) 8. 的根的个数是（ ） （1） 9．不恒为零的函数有（ ）几个零点 （至少1个） 10．中的系数是（ ） （2） 1 第91页，共221页