2013版高中全程复习方略配套课件：7.5直线、平面垂直的判定及性质(人教A版·数学理)浙江专用.pptVIP

平面与平面垂直的判定和性质 【方法点睛】 1.判定面面垂直的方法 面面垂直的判定综合性强，可通过转化使问题得以解决，“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的关系如图， 线线垂直 线面垂直 面面垂直 判定 性质 判定 性质 判定 性质 其中线线垂直是基础，线面垂直是核心.解决这类问题时要善于挖掘题目中隐含着的线线垂直、线面垂直的条件. 2.面面垂直性质的应用 (1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”. (2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面. 【例2】(2012·杭州模拟）如图所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平 面ABC，AC=AD=AB=1， 凸多面体ABCED的体积为 F为 BC的中点. （1）求证：AF∥平面BDE； （2）求证：平面BDE⊥平面BCE. 【解题指南】（1）根据线面平行的判定定理证明，即由线线平行推出线面平行. （2）利用面面垂直的判定定理证明. 【规范解答】（1）∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC， ∴四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED， ∵BC2=AC2+AB2，∴AB⊥AC， ∵平面ABC∩平面ACED=AC， ∴AB⊥平面ACED， 即AB为四棱锥B-ACED的高， ∵ ∴CE=2， 取BE的中点G，连接GF，GD， ∴GF为三角形BCE的中位线， ∴GF∥EC∥DA， ∴四边形GFAD为平行四边形， ∴AF∥GD， 又GD?平面BDE，AF平面BDE, ∴AF∥平面BDE. E D C B F A G · （2）∵AB=AC，F为BC的中点， ∴AF⊥BC， 又GF⊥AF，BC∩GF=F ∴AF⊥平面BCE， ∵AF∥GD， ∴GD⊥平面BCE， 又GD?平面BDE， ∴平面BDE⊥平面BCE. 【误区警示】解题时往往忽视“凸多面体ABCED的体积为 ” 这一条件的应用. 【反思·感悟】证明面面垂直时一般先证线面垂直，确定这条直线时可从图中现有的直线中去寻找，若图中不存在这样的直线，则应通过添加辅助线来构造. 【变式训练】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所 在平面垂直于底面ABCD. (1)求证：AD⊥PB; (2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上 找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD， 并证明你的结论. 【解析】(1)如图，取AD的中点G，连接PG，BG，BD. ∵△PAD为等边三角形， ∴PG⊥AD, 又∵平面PAD⊥平面ABCD， ∴PG⊥平面ABCD. 在△ABD中，∠DAB=60°, AD=AB,∴△ABD为等边三角形， ∴BG⊥AD,且BG∩PG=G, ∴AD⊥平面PBG,∴AD⊥PB. (2)连接CG,DE,且CG与DE相交于H点， 在△PGC中作HF∥PG， 交PC于F点，连接DF， ∴FH⊥平面ABCD, ∴平面DEF⊥平面ABCD. ∵菱形ABCD中，G、E分别为AD、BC的中点，即得知H是CG的中点，∴F是PC的中点， ∴在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF⊥平面ABCD. 线面角、二面角的求法 【方法点睛】 1.求空间角的步骤 (1)一找，即找出相关的角； (2)二证，即证明找出的角即为所求的角； (3)三计算，即通过解三角形的方法求出所求角. 2.空间角的找法 (1)线面角 找出斜线在平面上的射影，关键是作出垂线，确定垂足. (2)二面角 二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的常见作法有： ①定义法；②垂面法.其中定义法是最常用的方法. 【提醒】在作二面角的平面角时，若题目中有面面垂直的条件，则可由面面垂直得到线面垂直，进而根据定义作出二面角的平面角. 【例3】(2011·广东高考)如图，在锥体P-ABCD中，ABCD是边 长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD= ,PB=2，E，F分别是 BC，PC的中点. (1)证明：AD⊥平面DEF； (2)求二面角P-AD-B的余弦值. 【解题指南】(1)取AD中点G，证明AD⊥平面PGB，再证明平面PGB∥平面DEF. (2)连接PG、BG，证∠PGB是所求二面角的平面角，在△PGB中由余弦定理可求得二面角的余弦值. 【规范解答】(1)取AD的中点G，连接PG，BG，BD，又PA=PD，∴PG⊥AD， 由题意知△ABD是等边三角形， ∴BG⊥AD， 又PG,BG是平面PGB的两条相交直线， ∴AD⊥平面PGB， ∵EF∥PB，DE∥GB，EF∩DE=E,PB∩BG=B, ∴平面DEF∥平面PGB，∴AD⊥平面DEF. (2)由(1)知∠PGB为二面角P-AD