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平面与平面垂直的判定和性质 【方法点睛】 1.判定面面垂直的方法 面面垂直的判定综合性强,可通过转化使问题得以解决,“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的关系如图, 线线垂直 线面垂直 面面垂直 判定 性质 判定 性质 判定 性质 其中线线垂直是基础,线面垂直是核心.解决这类问题时要善于挖掘题目中隐含着的线线垂直、线面垂直的条件. 2.面面垂直性质的应用 (1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”. (2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面. 【例2】(2012·杭州模拟)如图所示,AD⊥平面ABC,CE⊥平 面ABC,AC=AD=AB=1, 凸多面体ABCED的体积为 F为 BC的中点. (1)求证:AF∥平面BDE; (2)求证:平面BDE⊥平面BCE. 【解题指南】(1)根据线面平行的判定定理证明,即由线线平行推出线面平行. (2)利用面面垂直的判定定理证明. 【规范解答】(1)∵AD⊥平面ABC,CE⊥平面ABC, ∴四边形ACED为梯形,且平面ABC⊥平面ACED, ∵BC2=AC2+AB2,∴AB⊥AC, ∵平面ABC∩平面ACED=AC, ∴AB⊥平面ACED, 即AB为四棱锥B-ACED的高, ∵ ∴CE=2, 取BE的中点G,连接GF,GD, ∴GF为三角形BCE的中位线, ∴GF∥EC∥DA, ∴四边形GFAD为平行四边形, ∴AF∥GD, 又GD?平面BDE,AF平面BDE, ∴AF∥平面BDE. E D C B F A G · (2)∵AB=AC,F为BC的中点, ∴AF⊥BC, 又GF⊥AF,BC∩GF=F ∴AF⊥平面BCE, ∵AF∥GD, ∴GD⊥平面BCE, 又GD?平面BDE, ∴平面BDE⊥平面BCE. 【误区警示】解题时往往忽视“凸多面体ABCED的体积为 ” 这一条件的应用. 【反思·感悟】证明面面垂直时一般先证线面垂直,确定这条直线时可从图中现有的直线中去寻找,若图中不存在这样的直线,则应通过添加辅助线来构造. 【变式训练】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°的菱形,侧面PAD为正三角形,其所 在平面垂直于底面ABCD. (1)求证:AD⊥PB; (2)若E为BC边的中点,能否在棱PC上 找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD, 并证明你的结论. 【解析】(1)如图,取AD的中点G,连接PG,BG,BD. ∵△PAD为等边三角形, ∴PG⊥AD, 又∵平面PAD⊥平面ABCD, ∴PG⊥平面ABCD. 在△ABD中,∠DAB=60°, AD=AB,∴△ABD为等边三角形, ∴BG⊥AD,且BG∩PG=G, ∴AD⊥平面PBG,∴AD⊥PB. (2)连接CG,DE,且CG与DE相交于H点, 在△PGC中作HF∥PG, 交PC于F点,连接DF, ∴FH⊥平面ABCD, ∴平面DEF⊥平面ABCD. ∵菱形ABCD中,G、E分别为AD、BC的中点,即得知H是CG的中点,∴F是PC的中点, ∴在PC上存在一点F,即为PC的中点,使得平面DEF⊥平面ABCD. 线面角、二面角的求法 【方法点睛】 1.求空间角的步骤 (1)一找,即找出相关的角; (2)二证,即证明找出的角即为所求的角; (3)三计算,即通过解三角形的方法求出所求角. 2.空间角的找法 (1)线面角 找出斜线在平面上的射影,关键是作出垂线,确定垂足. (2)二面角 二面角的大小用它的平面角来度量,平面角的常见作法有: ①定义法;②垂面法.其中定义法是最常用的方法. 【提醒】在作二面角的平面角时,若题目中有面面垂直的条件,则可由面面垂直得到线面垂直,进而根据定义作出二面角的平面角. 【例3】(2011·广东高考)如图,在锥体P-ABCD中,ABCD是边 长为1的菱形,且∠DAB=60°,PA=PD= ,PB=2,E,F分别是 BC,PC的中点. (1)证明:AD⊥平面DEF; (2)求二面角P-AD-B的余弦值. 【解题指南】(1)取AD中点G,证明AD⊥平面PGB,再证明平面PGB∥平面DEF. (2)连接PG、BG,证∠PGB是所求二面角的平面角,在△PGB中由余弦定理可求得二面角的余弦值. 【规范解答】(1)取AD的中点G,连接PG,BG,BD,又PA=PD,∴PG⊥AD, 由题意知△ABD是等边三角形, ∴BG⊥AD, 又PG,BG是平面PGB的两条相交直线, ∴AD⊥平面PGB, ∵EF∥PB,DE∥GB,EF∩DE=E,PB∩BG=B, ∴平面DEF∥平面PGB,∴AD⊥平面DEF. (2)由(1)知∠PGB为二面角P-AD
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