一个简单不等式在高考试题中的妙用.pdfVIP

中学数学杂志 2009年第 9期 嚣％曩／t鸳钇 粥‘琵琶乏。以髦 9 用非常规思维方法证明一个三角恒等式 江苏省运河高等师范学校 221300 胡 颖 若 ，卢，y0且 +卢+ 仃，则有如下三角 恒等式： sinasiny+sin3／sin( +卢 +y) = sin( + 卢)sin(~+y) (1) S．S + 卢(S + +S)= (S + )(5卢+S7) 如何证明这一结论呢?常规思维方法是，将等式两边 (4) 分别使用积化和差后，再进行变形 ，证明过程较为麻 当然 (4)也是一个恒等式．由公式 (3)，这个恒等式 烦．观察这一等式，只含有角的正弦函数，如果不看 可表示为 DAD曰sin IOCODsi“y+IOBOCsi 正弦函数符号，则变为： +卢( + + )=( +卢)( + ) (2) ~ IOAODsin( +卢 + ) ： IOAOCsin( + ) 而这却是一个恒等式．这个发现对结论的证明有什 么启发吗?联想到三角形面积的一个计算方法： I ~ OBODsin(卢+ ) (5) 1 2 5△ABc=÷4B ·ACsinLA (3) 将(5)式两边分别约去丢DDcDD后就得到要 于是，自然地会想到，若将恒等式(2)中的三个角换 成三个三角形的面积，不就和正弦函数联系起来 了 证的三角恒等式． 吗?为了这一想法，构造如下图形： 本文对角加上限制条件只是为了便于构造 图 如图，设含有角 ，卢，7的三角形面积分别记为 形，事实上对任意三个角等式 (1)都成立．本文不再 5， ，S，把 (2)中 ，，分别换成 s， ，s得： 讨论． 一 个简单不等式在高考试题中的妙用 青岛科技大学图书馆 266042 杨素慧 栖霞市蛇窝泊镇二中 265318 李冬梅 在全 国和各省市的高考数学试题 中，有一类关 设n，b，c0，则当口b时，詈UO}十成立． 于数列和不等式的综合性试题常常出现，这类试题 主要考察数列的基本概念、基本性质及通项的求法， (1) 并进一步考查学生灵活运用所学知识进行归纳 、推 不等式 (1)极易被证 明，这里略 ．下面给出两 理、问题分析和解决问题的能力 ．不少省市把这类 个例子说明不等式(1)在高考试题中的巧妙应用 ． 试题作为高考的压轴题 ． 例 1 (09年山东理科卷 20题)设等 比数列 在这类 问题的某些不等式的证 明中，如果巧妙 {a}的前 项和为s，已知对任意的n∈N 点 (n， 利用常用的简单不等式，能大大简化证明过程，收到 )均在函数Y=b+r(b0且 b≠1，b，r均为常 意想不到的效果 ．