39构造空间距离求解一类数学问题.pdfVIP

2015年第2期 中学数学研究 ·39 · 评注：本题中所求问题的几何结构特征明显，很 B 移到图6 所示位置时，问题取得最小值. 此时， 容易想到两点间的距离的平方，由条件（ 2 b + a - A（1，1），B（3，3），︴ AB ︴ = 2 2. min 槡 31na）+（c -d +2）= 0不难得出其等价关系b +2 2 评注：本题的关键是由表达式的几何结构特征， 2 a -31na =0且c -d +2 =0，但难点是由这两个等 得出动点A 和动点B 的轨迹方程（注意动点A 的轨 式抽象出动点的轨迹方程，并据此将动点间的距离 迹为上半圆），结合图形，不难理解动点A、B 必须同 问题转化为切点到直线的距离来处理. 此题以能力 在第一象限时距离才有可能取得最小值. 难点是有 立意，较好地考查了学生观察、分析、归纳、转化等基 些学生受半圆的影响，不太容易想到对称轴y = x. 本数学素养，真可谓简约而不简单. 事实上，如果将下半圆“补齐”，讨论双曲线上一点 例6 设a ［- 2，2］，a R，b R，b 0， 与圆上一点间距离的最小值问题，相信多数学生会 ∈ 槡 槡 ∈ ∈ ≠ 2 2 9 2 利用图形的对称性解题，上面的解法便水到渠成. 则 （a -b）+（ 2 -a - ）的最小值为 槡 槡 b 波利亚说过：“问题是数学的心脏，教学生解题 . 是中学课堂教学的根本任务”. 如何有效的解题，将 2 2 9 2 复杂、抽象的数学问题变得简单化、具体化. 笔者认 解析：由 （a -b）+（ 2 -a - ）的几 槡 槡 b 为，利用好问题的几何结构特征，挖掘出题中隐藏的 何结构特征，知其几何意义表 图形信息，凸显数形结合思想的运用应是一条行之 示动点A（a， 2 -a ），B（b，2 有效的途径. 槡 9 ）之间的距离. 易知，动点A 参考文献 b 的轨迹方程为x +y = 2（y2 2 ［1］吴智.湖北卷第9题［J］.数理天地（高中版），2014，9：16 ≥0），动点B 的轨迹方程为y -19. 9 2 2 图6 ［2］梁昌金.由加菲尔德构图引发的思考.数学通讯，2014，8： = .考虑到圆x +y =2和 22-24. x 9 双曲线y = 均关于直线y = x 对称，故当动点A、 x 櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽 构造空间距离求解一类数学问题 宁夏彭阳县第三中学 （756500） 王占彩 王伯龙 满足约束条件下的目标函数的最值、值域、求 OA = x +y +z = 1，OB = 3 +4 =5，AB =2 2 2 2 2 槡