32构造函数巧证双元不等式.pdfVIP

·32· 中学数学研究 2014年第12期 y 3．旦+鱼≥5． ＼|． ／? ＼ ～l}自睁x ＼ 应点c时，跹：二爿麓：二》卜 可化为： ——+——≤4．旦+鱼≤4． 螋．／ 然幽 7菇j上=7，．·．上的最大值在C处，为7．．．．上的取7菇j上=7，．’．上的最大值在C处，为7．．．．上的取 鱼≥e詈． ， D岛：5出＼j 值范围为[e，7]，即旦的取值范围是[e，7]． 设旦=菇，)，=旦，则题目转化 图4 张景中先生一直认为：一种方法解很多题，要好 过很多方法解一个题．这“一种方法”绝不是技巧性 r3戈+y≥5， 强，灵机一动的妙法，定是最基本、最重要、最自然的 为：已知戈，)，满足j戈+，，≤4，求上的取值范围． 通法．因此，在解题教学中，应该首选学生能够想到 戈 I y≥e。， 的通性通法和好使的常规方法，并充分暴露思考的 l戈0，y0， 整个思维过程，这是我们一直需要去努力研究的，也 作出(戈，y)所在平面区域(如图4)．求出y=e。 是解题教学的核心价值所在． 的切线的斜率e，设过切点P(‰，％)的切线为，，= 参考文献 蹦+m(m≥0)，则鱼：垫■竺：e+旦，要使它最 正O 并O 石0 [1]胡典顺．数学解题应该追求自然[J]．数学通讯(下半 小，须m=o．．．．÷的最小值在P(‰，，，。)处，为e．此 月)，2009(7—8)． [2]史嘉．数学解题应崇尚自然和常规[J]．中学数学教学参 时，点P(‰，)，。)在y=e。上的A，曰之间．当(髫，y)对 考(下旬)，2012．8． 构造函数巧证双元不等式 庄婷婷 福建省惠安三中 (362000) 不等式的证明是高中数学的一种常见题型，由 存在，求石。的取值范围；若不存在，请说明理由． 于题型多变、方法多样、技巧性强，这类试题往往成 为考试的难点．实际上证明不等式也有规律可循，在 石2一再1 证明不等式时，要依据题设和待证不等式的结构特 点、内在联系选择适当的证明方法．下面我们介绍一 种通过构造函数证明双元不等式的技巧． 戈，一髫1 1 指数型函数构造差值，化双变量为单变量 在求解一类以指数型函数为背景的导数、不等 式交汇的试题时，若此不等式含有双元变量戈，，戈：， 我们常常通过构造差值菇。一戈：，然后进行换元(令菇。 一石：=￡)，从而把问题转化为关于￡的不等式，最后 构造关于f的函数，以导数为工具进行证明． 例1 (2012年高考湖南卷)已知函数八光)= 。似1 。4*2 ‘ e“一x，其中口≠0．